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第28节：数学有一种惊人之美（2）
数学的跌宕起伏之美，体现在它对一个人思维跨度的要求，特别是当你在苦苦思索中，突然眼前一亮，找到了解题的思路，那种对灵魂的巨大冲击，可以让一个人心情久久难以平静。
再有就是茅塞顿开之美，凡是比较好的数学题目，往往都稍有些难度，当我们通过认真思考，突然找到它的答案，就会感受到一种豁然开朗的美。
还有它的一题多解之美，有时候一个看似很平常的题目，但是可以找出七八种解法，而且每一种解法都隐含着一个非常美妙的技巧。
再一个就是多题一解之美，数学可谓题海无边，但是只要注意归纳，就会发现，数学中的许多题目都是可以归类的，万变不离其宗。
还有小题大做之美，本来这个题目看似很小，但是就像一个金矿的入口一样，背后潜藏着一个巨大的金矿，你一旦把窗和门打开，在你面前就是一座宝藏。在教学中有些内容，按照教学大纲的要求，可能只讲一节课，但我可以就这个问题，展开讲一周，甚至讲好几周。因为这个题，引发了我的一些情怀、一些感慨，竟然能够把整个数学都覆盖得到。
我举一个小小的例子，这是过去数学课本上的一个题目，大家都觉得这种题目难度不大，而且也很基本。但就是这样一个题目，却潜藏着非常丰富的数学思想和数学方法，以至于让我讲了整整两周。
这是过去中学课本上的一个题8－2x2－x＞…1，因为这道题很基本，所以大家都会做。一般的做法就是，把x移到右边，因为这个不等式里边，最讨厌的就是那个根号，它是一个无理的东西，所以我为了处理这个根号，就把相关的闲杂人员全处理到右边去，把这个比较难对付的根号孤立起来。下面要采取的方法是去掉根号，但是如何去掉根号呢，得考虑这个不等式两边的非负性。于是就出现了这个不等式，一方面是，8－2x2≥0，保证这个根号下不是负数；另一方面是，x－1≥0，保证两边非负。在这个情况下，两边平方得到8－2x2＞（x－1）2，这是得到的第一个不等式。第二个不等式，还是8－2x2≥0，因为根号下必须保证不能是负值，但是这个x－1，它当然可以是负的，所以第二种情况x－1＜0，那么我们看到，只要是这两个不等式同时成立，原不等式肯定是成立的。于是原来不等式的解，就是这两个不等式组解集的并集。分别把这两个不等式解出来，然后一求并集，答案就出来了，这就是这个题的常规解法。
我想几乎所有的学生都会采用这种解法，而且解完之后都感觉到完成任务了。其实这个题中间潜藏着一些伟大的数学思想和数学方法，可是用第一种解法没法儿发现。如果学数学仅满足于这种解法，就会陷入一种套路式、教条式的模式，很难了解到数学的波澜壮阔。我现在构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x－1，那么大家看，刚才这个问题就变了，变成这两个函数，谁比谁大的问题。大家注意，第一个函数，它是椭圆的上半部分，第二个的图形呢，它是一条直线，那么这个问题就变成了这条直线和椭圆相交，然后只要看看那两个图像的交点，就把这个题很简单地解出来了。本来是一个解不等式的问题，但是构造两个函数之后，通过求解交点，就转化成一个等式的解法，这是数学中的一个巨大的变化。大千世界相等是短暂的，不等是永恒的，但是利用了这种函数思想，就能够抓住相等的那一刹那，解决永恒的不等的问题，它的智慧就在这儿。第二种方法简洁，解法正确率高，更重要的是，这第二种解法体现出数学的一个非常重要的思想，就是数形结合。
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第29节：数学有一种惊人之美（3）
如果这个题再做变化，比如说我要是把那个…1，偷偷地换成一个a，那么你会发现，刚才提供的第一种解法，就无能为力了。因为那个a是啥呢？这个讨厌的a，它变化多端，每一次变化都给这个不等式的解法带来灭顶之灾，但是你要利用第二种解法，那么这个问题就好解决了。构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x＋a，刚才讲过，y=8－2x2，它其实就是椭圆的上半部分，y=x＋a是一组平行直线，它的斜率是1，随着a的变化，那条直线在不断地变化。
这个题在高考中，应该是一种比较有难度，而且也非常常见的题目，就是分类讨论。我们通过这个图形一看，就可以分成四段来讨论，一目了然。通过这个题，我们可以看到，方程是数学上非常核心的概念，可以在函数的观点下，和不等式统一起来，这就是函数在数学中的重要性。一方面，要解决的具体问题一旦归结为函数，就可以把一些局部的问题，拿到高瞻远瞩的全局上去解决，所以局部的问题就变得很简单；另外，能够把静态的问题，放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，使问题变得简单，比如说那个解不等式的问题。
有了这样的一个背景，这个题可以随意变。通过观察图像，得出了a<；…2时，它的解是什么；…2≤a＜2时，它的解是什么；2≤a＜2 3时，它的解是什么；最后a≥2 3时，它的解集是空集。顺着这个题，我现在逆向思维，不让你解这个等式，而是已知这个不等式的解集为＇…2，2＇，求a的范围。那么大家再看刚才那个图，这个不等式的解集是＇…2，2＇，就是说在＇…2，2＇这个区间，这条抛物线始终应该在这条直线的上方。从图上一看，答案不用动手就出来了，是a＜…2。如果这个题不是通过这样的一种方法来做的话，那就难上加难了。我再进行第二变，刚才不是解这个不等式吗，现在不解不等式了，换一个什么呢？已知这个方程8－2x2…x=a，说这个方程恒有解，求a的范围。这个题目和原来那个题相比，其实就是一个符号之差，原先是个大于号，我现在变成个等号，这两个题目的背景和解题的氛围，就发生了很大的变化。但当你考虑函数的背景时就会发现，这两个题目完全是同一种题目。还是看刚才那个图，这个方程恒有解，不就意味着那条直线和那个椭圆恒有交点吗？我们观察图像可知，当…2≤a＜2 3这个范围内时，直线和椭圆恒有交点，根本不用计算。但我可以告诉你，这个题是有一年高考的一个很难的题目。还有更精彩的，现在我不是说这个方程有解了，而是说这个方程有两个不同的解，求a的范围。这不同的解就意味着这条直线和这上半个椭圆，得有两个不同的交点，看看图就一目了然了。于是这个题目的答案又得到解决。我们还可以继续变，若是在＇…1；1＇内有解呢，求a的范围，这个答案也很好找出来。
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第30节：数学有一种惊人之美（4）
再看一个题，还是各种复习材料上都会有的一个题目：
y=mx2＋43x＋nx2＋1
这个函数的最大值是7，最小值是…1，求m，n。我经常给学生讲的一句话，叫〃上帝让谁死亡，必先让谁疯狂〃，这个现实生活中的道理，在数学上也有恰到好处的应用。大家看这个题，这个函数中有四个字母，一个x一个y，一个m一个n，那么我们现在要求m，n。我要做的就是怎么能把x和y消掉而后快。大家看，我先把x2干掉，怎么干掉呢？我得先让x2疯狂起来，于是把分母乘过来。乘过来以后，x唱主角了，把这个函数整理成一个关于x的二次方程，x高兴了，你看我多厉害，这个方程竟然是我的一个二次方程，岂不知大难临头了，然后怎么办？面对这个题目，我们采取什么措施呢？因为这是二次方程，它恒有解，所以判别式大于等于零。你看x没了，从这个判别式中，怎么再去寻找x2的踪影呢，找不着了吧？所以这个不等式现在就剩下m，n还有y，我们要求m，n，就得把y消掉，怎么消呢？上帝让y死亡，必先让y疯狂，所以重新打开整理，于是这个题变成了y的一个二次不等式，这个y高兴了，你看这是关于我的一个一元二次不等式，其实大祸已经来临了。你看y2－（m＋n）y＋mn－12≤0，这是关于y的不等式。注意题目，这个函数的最大值是7，最小值是…1，这说明了y的最小值是…1，最大值是7，那就说明，这个不等式的解是＇…1，7＇，就意味着这个二元一次方程的解，一个是…1，一个是7，把…1和7代入，y没了，把…1代入得到m和 n的一个方程，把7代入又得到m和 n的一个方程，这两个方程一联立，m，n搞定了，这是一种做法；或者根据韦达定理，两根之和等于…1，两根之积等于7，那么m和n的方程也就出来了，我们解了这个方程之后，便会把m，n求出来。
这一个小小的片段，就体现了函数这种工具在数学中的重要性。函数是数学上一个永恒的话题，所以每年的高考，对函数这个内容，老师是情有独钟，每年必考，而且考的分量也很重，因此在学习的过程中，一定要高度重视函数的问题。我们研究的问题，一旦转化为函数，那函数的重要性质，例如它的单调性，它的奇偶性，它的周期性，它的凹凸性，便有了用武之地；在数学上占有比较重的分量的数列，又是一类特殊的函数。我通过刚才这个例子想表达的是，在高中阶段，只要能学好函数，便把握住了数学里的一个非常灵魂的东西。
◇。◇欢◇迎访◇问◇
第31节：高考考什么
高考考什么
高考其实是有一定周期的选拔性考试，出题内容有规律可循。
在高考命题专家的眼里，高考是有一定周期性的，经常会有一些轮回，其变化又与高等学校的专业课程的设置有关，所以高考不仅是选拔学生，同时还得有利于学生到了大学以后的学习。
从表面上看，高考命题有很大的随意性，但是，在高考专家眼里，高考命题有相当的确定性，看似扑朔迷离，其实规律蕴含其中。所以认真研究考试说明，认真研究近几年的高考题，就可以发现那种看似无形却有形，犹抱琵琶半遮面的高考规律，从而引领学生脱离题海，走向高效的高考复习之路。
如果不去分析高考题的特点，不去琢磨高考题的规律，一味地在题海战术里打拼，结果学生累得头脑昏昏，教师也累得叫苦连天，但是最后的结果往往是，一拿着高考卷子，老师感叹这一年的力白出了，学生感觉高三这一年，似乎就是不做那么些题目，也能得这么些分。这些都说明我们由于一味地去搞题海战术，竟然把最重要的研究高考动向、高考规律这件事给耽误了。
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第32节：利用考试说明摸清高考内容
利用考试说明摸清高考内容
怎样提高高考的复习效率呢？我觉得应该做到的第一点，就是认真落实考试说明。考试说明是高考唯一依赖的大纲，高考的题型分布、难度分布、考试重点、考试难点，都明明白白地写在考试说明中。
高考被定义为一个选拔性的考试，它的�