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似选择的结果。所以，如果有必要，可以认为他在我们开始分析他以后生活的任一点上做出单一抉择，比如说他那一天登上岛屿，是为脱险而稍事休整。这样的概括程度不能满足所有的要求。对其中的一些，考虑个人的动机而不考虑完整的战略打算要好些，这是按照纽曼和摩根斯顿的命名。然而，在我研究的现阶段，消除不确定的复杂因素要好些。采取这种角度观察，使我们得以省去写在下方的to，因为只有一组相关期望，同时每个期望在同一时期含着其未来收入流量，即最初起点到无限的未来。
作为一种更简化的方法——尽管会有更多的疑问——我们能以单一的数学替代每个I（t），即假定或者所有的I（t）都是某一参数族中的所有成分，譬如具有相同斜率的所有直线，或者以某种给定利率将未来收入打折扣至其初始点，再加上折扣收入以得到每个收入流量现在的价值，同时假定在这一利率上，个人对具有相同现值的任何两种收入流量间的选择漠不关心。两个假定都允许每个I（t）被单一的数字替代，比如W（表示Wealth），这样，不必知道个人效用函数就能计算个人收入流量。
这些简化的假定意味着累积的不确定分配完全可以说明任何期望，比如P（W），给出一个变量，问题中的行为过程的结果将是比W少的财富价值。假定A’是那组所有的行为过程，任何一组特殊的行为过程，即Pa（W），其期望对a做出反应。
仅以效用是财富（在下面的公式中以财富代替了收入）增函数的假定就足以排除一些期望。如果对于所有的W
Pa（W）≤Pa’（W）
且对一些W
（1） Pa（W）＜pa’（W），
那么不考虑财富的效用函数的精确形态，a显然要比a’好。假设被减的一组A由这样一些行动过程组成，对这些行动过程的任何期望都不能满足（1）式。于是在A组中的选择就不只取决于效用函数的一阶导数。
假定U（W）是鲁宾逊·克鲁兹的效用函数。那么在期望效用假设的基础上，鲁宾逊将选择期望a以使
（2）
的值趋于最大，除了这种期望效用假设的再说明：在目前概括水平上，就这一特殊情况几乎没有更多的解释。
假设许多完全相同的鲁宾逊·克鲁兹面临同样的一组行动，他们与期望有关且相互间完全独立。原则上，所有这些人都将做出同样的选择，比如说期望a’。进一步分析，如果任一鲁宾逊的行为结果（他所实现了的W）在统计中独立于任何其他鲁宾逊的行为结果（其他人实现了的W），那么，Pa’（W）将成为已实现的积累财富在他们中的分配。他们之间收入不平等在一定程度上是审慎选择的产物，他们共有的效用函数形态在一定程度上决定了不等的量。如果效用函数是一条直线，每个鲁宾逊将选择具有最高期望的收入；如果效用函数处处向下弯曲（即收入的边际效用递减），他愿意牺牲一些未来收入以减少收入的变化；如果效用函数处处向上弯曲（即收入边际效用递增），他将宁愿放弃一些未来收入以使收入有向上的变化，等等。已给定的一组期望的规模充分大且有相应变化，那么鲁宾逊之间收入的不平等在第二种情况最少，而在第三种情况下最多。
然而任何一位鲁宾逊已实现的W不必在统计上与其他鲁宾逊实现的W相独立。例如，虽然每个人忽视其他人的存在，但他们生活的岛屿可能在同一地理区，并有同样的气候条件，在这种情况下，如果我们假定他们每人只做一种选择，那么Pa（W）将不是已实现积累财富在他们之间的分配。在极度完全相互依赖的情况下，所有的人将实现同量财富，因此尽管效用函数处处向上弯曲，收入也会完全相等。在中间状态下，虽然相互依赖的性质和程度影响已实现的收入分配的形态，但这不是在不等水平上有关效用函数形态的一般结果。
社会中的个人：再分配没有成本
假定许多相同的鲁宾逊相互建立了联系。由于在鲁宾逊之间确立了将获得的产品再分配的预先联合协议，有可能产生新的期望，因此每位鲁宾逊对将要采取的行动过程所作的决策考虑，目前是基本不变的。我们社会中个人间的许多共同协定包含这种再分配，所以个人没有必要通过“政府”采取统一行动。直接从事保险或经营彩票的私营企业就是最典型的例子，但这种现象是非常广泛存在的：在我们的社会中，几乎所有企业都在作某种安排，以改变财富再分配的可能性。例如，虽然某一鲁宾逊可以将自己封为保证其他人“工资”并获取剩余产品的企业主，但任何个人也可以另外进行他已经干的其他事情，这样那位企业家就没有任何通常应有的管理和监督能力。结果是要去改变原来的与个人有关并有可能实现的那组期望。为了将这种“创造”新期望的功能视为企业主现代社会中“基本的”功能，人们可以凭借不确定性产生的收入再分配而不是技术的变化或改善，创造一种良好的环境。
当然，在一般情况下，通讯传播知识，通讯改变与任何行动过程相一致的不确定财富分配，通讯还通过交换产品，使人们得以开展新的行为过程，从而给劳动力分配和生产功能专业化以余地。然而，由于这些情况主要影响实际收入水平而不是收入分配。因此，我们假定。仅只通讯的建立或商品交换并不改变对每个鲁宾逊的一组不确定收入分配。
我们不能轻易忽视另一个复杂情况：成本的管理和执行与再分配的安排有关。这些成本中最重要的是对有关刺激安排的效果。提供资源以防火灾，对于自己承担全部风险损失的人，比加入保险以避免火灾造成房屋损失的人要有刺激。在我们的专用名词中，行为过程a及与它相联系的不确定分配Pa（W）只有当某一位被涉及的鲁宾逊自己直接获得最终W，才是能够实现的。如果一组中的每位鲁宾逊都同意按照行为过程a进行活动，合伙经营最终产品并一起分享这些产品，就是说大家处于同等地位，那么实际实现的财富将与每个人独立采用a的情况下的财富有相当的差别——也就是说，事实上个人不必按a行动。当然，这是为什么只是对于独立于个人生产活动之外的公害，避免损失的保险才是可行的基本原因，这也是为什么将给予个人的报酬与其生产贡献相分离的一切尝试遇到巨大困难并完全失败的基本原因。
我们将把这一复杂问题放到下一节去探讨，在这一节，我们将假定再分配协议没有任何成本：即在两种情况下一组生产过程A及与它相联系的期望Pa（W）都能实现，一种情况是个人独立行动，另一种情况是个人参加再分配协议，协议中W代表个人在再分配前实现的财富，即个人对任何再分配所能贡献的财富总量。如果我们进一步假定，任何一位鲁宾逊的已实现的W在统计上独立于其他鲁宾逊的W，同时对Pa（W）的规范恰到好处，鲁宾逊人数达到所需的足够数量，那么，只有Pa（W）的期望价值决定所采用的行为过程，且只有个人的偏好，决定在相同个人间财富收入的不平等。对于已给定的独立性和大量的人，他们在共同生产过程将要实现的每个人的财富——平均财富或未来财富——的不确定性很小（在这种限制下没有不确定性）。因此，采用每个人所获财富为最大值的生产过程是合算的，因为这将使待分配总量达到最大，并以最适当的方式在鲁宾逊之间分配。更正式地说，假定a’是在前一节所述情况下选择的行为过程，这一生产过程产生未来财富Wa’，行为过程a”产生更高的期望财富Wa”。假定一个将要实现的协议，协议中每个鲁宾逊选择a”，协议将最终产品贡献给公共储备系统，然后抽出由随机过程决定的一笔基本收入，这一随机过程使他得到比W少的不确定的Pa（W）。很清楚，对所有鲁宾逊来说，只有这种基本收入的期望才像a’没有再分配协议一样具有吸引力，Wa”－Wa’数倍于鲁宾逊的数量，这一差额现在留在公共储备里以提供附加收入，因此，具有适当再分配协议的a”比a’更可取。根据同一理由，显然总存在着一种再分配协议，这一协议创造具有更高预期财富的期望，它比任何其他期望更可取，而不论其他具有较低未来财富的期望是否有再分配协议。根据考虑中的特殊情况推断，自然为人们提供的机会决定的只是已实现财富分配的平均价值；财富的不平等则完全是人为因素产生的。
假定一财富效用函数处处向下凹，那么最合适的财富分配显然是采取平均主义。鲁宾逊们将集中其财富，每人从中按同种比例分享：在另一个极端，假定财富效用函数处处向上凸，最适当的收入分配显然是尽可能的不平等。鲁宾逊们将集中其财富，每个以同等机会获取一张彩票，只有一人能得到与总财富相等的奖赏。
一种更令人感兴趣，对分析实际更相关的效用函数是这样的，它有萨维奇和我提出的形状，使得一些简单的，被广泛接受的实际概括趋于合理，这些概括是指包括风险在内的环境中的行为。我们提出一种函数，它起初向下凹，而后向上凸，如图表15．1的U（W）曲线。
假定W是最大的期望财富（当每个人按a”行为时实现的财富）。考虑一种由两种W价值构成的期望，例如WL和WU假定WU≥W≥WL，与可能性pL和pU相联系，假定pLWL＋puWu＝W，联结U（WL）和U（Wu）的弦上，W的纵坐标给出与这种期望相一致的期望效用。几何图形清楚地表明，如果在图15．1效用函数图两点之上有一条切线；并且W位于切线两点横坐标之间，关于这点可以设W1和W2，且W2＞W1，如果WL和Wu与W1和W2分别相等，那么这个预期效用是最大效用。与之相关的可能性PL和Pu分别表示为（W2－W）／（W2－W1）和（W－W1）／（W2－W1）。我们称这一期望为ad（d表示“两点切线”）。
可以将任何具有期望值W的更复杂的期望表达为一种可能的结合。这种结合由单值或双值预期构成，每个都有同样的期望值W。因此，可以将更复杂期望的预期效用表达为一种预期效用的期望值，因为这种复杂期望的预期效用可以分解为单值或双值预期效用期望值。因此，这种复杂期望的预期效用不可能超过具有最高期望值的组合单值或双值期望。结论是，ad是由个人组成的社会每个成员的最适当期望，这些人中的每一个都有图15．1的效用函数，在我们假定前提下，这也是已实现财富的分配。
关于这一结果的更显著特征是它一般总是正确的，附带一个小条件是如我们完全放弃为这一点所做的假定，这一点对所有的个人来说，某组生产A过程和与之相联系的期望P2（W）是完全相同的。在我们已给的其他假定下，财富的事后分配在总体上就只取决于效用函数的状态和每个人为社会提供的最大的预期财富，而决不会取决于相对不同鲁宾逊能够得到的预期的差别。为证明这一命题，假定有两组人，每组的成员都有同样的期望，第一组的最大预期财富W（i）与第二组的最大预期财富W（2）不同。根据前面的分析，各组成员将分别集�