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解释一种数学理论时通常遇到的情况。例如，正如我们已经知道的那样，全
部算术都可以从皮阿诺所列举的五个公理演绎出来，因而如果我们对于数的
要求只限于让它们遵守算术规则，那么我们就可以把任何满足皮阿诺五个公
理的数列定义为自然数列。现在任何级数，特别是那些不从0 开始，而从100
或1000，或者任何其它有限整数开始的那些自然数列，都满足这些公理。只
有当我们决定我们想让数用于不限于算术范围的列举时，我们才有理由选择
以0 开始的数列。同样，对数学的概率论来讲，要选择的那种解释可以看我
们心目中的意图来定。
“概然性”这个词常常有不能，或者至少不能明显地，解释为两个有限
集合的数目之间的比率的意义。我们可以说：“大概有过佐罗亚斯特这个人”，
“大概爱因斯坦的引力论比牛顿的引力论好”，“大概所有的人都是有死的”
①。在这些实例中，我们也许可以主张存在着某种证据，而我们知道这种证据
与某种结论在绝大多数的情况下是结合在一起的；这样一来，把概然性定义
为两个集合的数目之间的比率从理论上来说可能就讲得通。因此上面所举的
这些实例并不包含“概然性”的新意义。
可是还有两句我们不加考查就愿意接受的名言，但是一旦接受之后，这
两句话却包含着一种看来与上述定义不能调和的关于“概然性”的解释。第
一句话是巴特勒主教的格言：“概然性是生活的指南”。第二句话是我们所
有的知识只具有概然性，这个说法341 是莱新巴哈所特别强调的。
① 不要和“所有的人大概都有死”相混淆。
按照对“概然性”所作的一种非常普通的解释，巴特勒主教的格言显然
是正确的。正象通常发生的情况那样，当我不确知要发生什么事，但我又必
须照一种或另一种假设行事时，我就选择那个概然性最大的假设，一般来说
这样做是明智的，我在做出决定时把概然性考虑进去，这样做也永远是明智
的。但是在这种概然性与数学上的概率之间有着重要的逻辑上的不同，即后
者所涉及的是命题函项①，而前者所涉及的则是命题。如果我说钱币出正面的
机会是一半，这就是“X 是抛掷一次钱币”与“X 是出正面的抛掷一次钱币”
两个命题函数之间的一种关系。如果我想就一个特殊的实例推断钱币出正面
的机会是一半，我就必须说明我是把这个特殊的实例仅仅当作一个例证来看
的。如果我能看到它所有的特殊性，我在理论上就能判断它将出正面还是出
反面，我也就不再停留在概然性的领域中了。如果我们把概然性当作生活的
指南，这是因为我们的知识不够充分；我们知道所谈的事件是B 类事件中的
一个事件，我们也可能知道这一类中有多大一部分属于某个我们感到兴趣的
A 类。但是这一部分的大小要看我们对于B 类的选择而有不同；这样我们就
将得到不同的概然性，它们从数学观点看都是同样正确的。如果把概然性当
作实际生活的指南，我们就必须有某种方法选择一种概然性作为唯一的概然
性。如果我们不能够做到这一点，那么一切不同的概然性仍然会同样正确，
我们也就得不到可以依据的指南了。
让我们举出一个每个聪明人都以概然性作为生活指南的实例。我指的是
人寿保险。我确实知道了某家公司愿意给我作人寿保险的条件，我就得决定
按照这些条件保人寿险，对于我而不是对于一般保人寿险的人，是否有希望
成为一项有利的交易。我的问题和保险公司的问题不同，并且比它困
难得多。保险公司对我这个个别的实例并不感到兴趣：它是对某一类中所有
分子提供保险，只需要考虑到统计出来的平均数。但是我可以相信我有特别
的理由可以指望活到很高的年龄，或者我和作了人寿保险第二天就死去的那
个苏格兰人一样，临死还说：“我永远是个幸运的人”。我的每一项健康条
件和我的生活方式都是与此有关的，但是其中有些条件可能很不常见，所以
我无法从统计上得到可靠的帮助。最后我决定征求一位医生的意见，他问了
几个问题之后就和蔼地对我说：“我想你可以活到九十岁”。我不仅痛苦地
感到他的判断的仓促和不科学，而且知道他是有意让我听了高兴。因而我最
后得到的那种概然性就是一种十分含糊和完全不能用数字度量的东西；但是
作为巴特勒的学生，我却必须按照这种含混的概然性去行事。
那种作为生活指南的概然性不是数学上的概率，这不仅因为它与随意挑
选的与件无关，而与所有和被讨论的那个问题有关的与件有关，而且因为它
必须考虑到某种完全超出数学上概率范围以外的东西，这种东西可以叫作“固
有的可疑性”。这就是当有人说我们所有的知识都只具有概然性时有关本题
之处。例如，让我们考察一下已经变得模糊到不再有把握相信的遥远的记忆，
暗谈到让我们怀疑是否真实存在的星体，或者轻微到使我们以为也许只是想
象出来的声音。这些都是些极端的例子，但是在较小的程度内，同样的可疑
性是很普遍的。如果我们象莱新巴哈那样，主张我们所有的知识都是可疑的，
我们就不能照数学的方式给这种可疑性下定义，因为在编制统计表时就假定
①
即包含未确定的变项的句子——例如，“A 是一个人”——如果我们把值给变项（在上述例子中就是A），
它们就成为命题。
了我们知道这个A 是或不是一个B，例如，这个保过寿险的人是否已经死了。
统计表是建立在一种对于过去事例假定确有所知的结构之上的，而一种普遍
的可疑性不可能是仅仅属于统计方面的东西。
所以我认为凡是我们感到愿意相信的事物都具有一种“可疑度”，或者
反过来说，具有一种“可信度”。有时这和数学上的概率有关，有时却不是
这样；这是一个范围更大、更加含混的343 概念。然而它也不是纯属主观的
东西。有一种同源的主观概念——即一个人对他的任何一个信念所感到的确
信的程度——但是我所指的“可信性”却是客观的，意思是说它是一个有理
性的人可以给予的相信的程度。当我算帐时，我对第一次所得的结果给予一
些相信，如果我第二次得的结果一样，这种相信就会大大增加，而在第三次
得到同样结果时，我就确信无疑了。这种确信是随着证据的增长而增长的，
所以是合乎理性的。对于任何具有证据的命题来说，不管证据多么不充分，
都对应着一种“可信度”，即一个有理性的人所给予的相信的程度。（后者
也许可以当作“合乎理性的”这个词的定义。）概然性在实际生活中的重要
性是由于它与可信性的关连，但是如果我们把这种关连想象到超过了实际情
况，我们就给概然论带来了混乱。
可信性与主观上的确信之间的关连是一种可以用经验的方法来研究的关
连；因此我们在看到证据之前无需对这个问题持有任何看法。举例来说，一
个变戏法的人能够用一种自己知道，但却有意欺骗观众的方法来安排条件；
这样他就可以获得怎样产生不真实的确信的与件，这些与件在广告和宣传中
是容易产生作用的。我们不能这样简单地研究可信性对于真理的关系，因为
我们通常把高度的可信性当作真理的充分证据，如果我们不这样做就不能再
发现任何真理。但是我们能够发现具有高度可信性的命题是否构成一个互相
一致的集合，因为这个集合包含着逻辑的命题。
根据上面初步的讨论，我认为按照习惯的用法，两种不同的概念都同样
具有可以叫作“概然性”的权利。其中第一种是数学上的概率，它可以用数
字度量并且满足概率计算的公理；这是使用统计时所涉及的那一种，不管是
用在物理学、生物学或者社会科学哪一方面，并且是我们希望为归纳法所包
括的那一种。与这种概率发生关系的永远是类而不是个别的实例，除非我们
能把这些实例仅仅当作例证来看。
但是还有另外一种概然性，我把它叫作“可信度”。这种344 概然性应
用于个别的命题，并且永远要把一切有关的证据考虑在内。它甚至应用于某
些没有已知证据的实例。我们所能得到的最高程度的可信性应用于大多数的
知觉判断；不同程度的可信性也随着记忆判断的明鲜程度和时间远近而应用
于记忆判断上。就有些实例来说，可信度可以根据数学上的概率推断出来，
而另外一些实例就不能这样；但是即使在可以的情况下，记住它是个不同的
概念这一点还是要紧的。当有人说我们所有的知识只具有概然性，而概然性
又是生活的指南时，所说的正是这一种概然性，而不是数学上的概率。
这两种概然性都需要加以讨论。我将从数学上的概率谈起。
第二章概率计算
在本章内我想把概率论作为纯粹数学的一个分支来加以论述，演绎出某
些公理的结论而无需给它们以这种或那种的解释①。我们可以看到，尽管人们
对于这一领域内的解释意见不一，这种数学计算本身还是与数学中其它任何
分支享有同样程度的公认。这种情况并不是概率论所特有的。微分学的解释
约近二百年来一直是数学家和哲学家争论的一个题目；莱布足兹认为它包括
真正的极小数，直到魏尔斯特拉斯这个看法才被完全否证。再举一个更带基
本性质的例：对于初等算术从来没有发生过什么争论，但是自然数的定义却
仍然是一个争论未决的问题。所以对于“概然性”的定义有疑问而对于概率
计算没有（或很少有）疑问这一点我们就不必感到奇怪了。
按照约翰逊和凯恩斯的办法，我们用“p/h”。。 来表示这个不下定义的概念：
p 在已知h 的条件下的概率。当我说这个概念是不下定义的概念时，我的意
思是说它只由将要列举出来的公理或公设来下定义。任何可以满足这些公理
的东西都是概率计算的一个“解释”，人们可以料到将有许多可能的解释。
其中没有哪一个比另外一个更为正确或更为合理，但是有些却可能比另外一
些更为重要。所以在给皮阿诺的五个算术公理找出一种解释时，那种以O 为
第一个数的解释就比那种以3781 为第一个数的解释更为重要；它之所以更为
重要，原因在于它能让我们把形式主义的概念的解释和在列举中所认识的概
念等同起来。但是目前我们将不去管一切解释的问题，我们对概率只作纯粹
形式的论述。
不同作者所提出的必要的公理或公设都大体相同。下面的说法采自C。 D。
布劳德教授①。这些公理是：
1。已知P 和h，那么p/h 只有一个值。所以我们能够谈到“p 在已知h
的条件下的概率”。
II。p/h 的可能值是所有从0 到1 的实数，包括0 与1 在内。（照某些解
释我们把可能值限于有理数；这是一个我将在以后讨论的问题。）
III。如果h 蕴涵p；那么p/h＝1。（我们用“1”表示