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一个整数，在为大数时，小于或等于的质数的数目近似于n
logn
n
，所以一个
n
小于的整数为质数的机会近似于
log n
，而在无限增大时n
log n
n
11
的极限为零。但
是现在假定我们按照下面的方式重新排列整数：先排好前9 个质数，然后排
上第一个不是质数的数，再排好下9 个质数，然后排上第二个不是质数的数，
这样一直无限地排下去。当整数按照这种顺序排好之后，莱新巴哈的定义表
明任意选取的一个数目为质数的机会是9/10。我们甚至能把整数安排得使一
个数目不为质数的机会为零。为了得到这个结果，先排第一个非质数——即
4——然后再在第n 个非质数的后面排上已经排好的质数以后的n 个质数；这
个级数的开始是：4，1，6，2，3，8，5，7，11，9，13，17，19，23，10，29，31，37，41，43，12，。。。在这个排列中，在第（n＋1）个非质数之
就将有n 个非质数和1/2n（n＋1）个质数；这样随着n 的增大，非质数的数
目与质数的数目之比就趋近于0，而以0 为极限。
从这个具体例子来看，显然如果我们接受莱新巴哈的定义，同时已知任
何一个具有与自然数项数相同的类A，并且已知任何一个无限子类B； 那么一
个任意选取的A为一个B 的机会将为0到1 之间的任何数（包括0和1 在内），
这要看我们选择的把B 分配在A 中的方式来决定。
由此可以看出，如果要把概率应用到无限集合上来，它一定适用于级数
而不适用于类。这一点看来似乎有些奇怪。
诚然，就经验界的数据来讲，这些数据都是按照时间顺序出现的，因而
也就构成一个系列。如果我们愿意假定将有无限多个我们正在研究的那种事
件出现，那么我们也能确定我们的概率定义只适用于按照时间序列排好的事
件。但是在纯粹数学的范围之外，我们还不知道有什么无限级数，并且就我
们所能得出的判断来讲，大多数系列都是有限的。一个六十岁的人死于癌症
的机会是多少？显然我们可以计算这种结果，而无需假定征时间终结之前死
于癌症的人数为无限大。但是照字面的解释来看，莱新巴哈的定义认为这是
不可能的。
如果概率依靠按照时间顺序而不是按照其它可能的顺序来排列事件，那
么概率就不能成为逻辑的一个分支，而必须是关于自然过程研究的一部分。
这并不是莱新巴哈的看法；相反，他认为一切真正的逻辑都是概然逻辑，并且
古典的逻辑的错误就在于把命题分为真伪两种，而不是把命题当作具有这种
或那种程度概率的东两。所以他本来无需引入象时间这类现实世界中偶然性
的特点，只用抽象的逻辑说法就能够叙述概率论中最基本的内容。
那种把概率当作统计的看法与莱新巴哈也在主张的那种认为一切命题由
于缺少必然性而只具有不同程度的概然性的看法是很难结合在一起的。困难
在于我们似乎陷入了无尽止的后退。假定我们说一个得瘟病的人死于这种病
这句话带有概然性。这样说的意思是如果我们能够说出从最早的时代直到人
类灭亡所有患瘟病的人所组成的系列，我们就将发现他们当中有半数以上死
于这种病。因为将来和大部分过去都没有记载，我们就假定记载的情况是较
好的样本。但是现在我们要记住我们的全部知识都只有概然性；所以如果我
们在编写统计时发现记载上写着某甲得瘟病而死，我们一定不能把这个项目
当作具有必然性而只能当作具有概然性的东西。为了发现它的概然性有多
大，我们必须把它包括在一个系列中，比方说官方的死亡证明书中，而且我
们必须找出某种方法确定死亡证明书有多大一部分是正确的。这里我们的统
计中将有一个项目是：“布朗先生经过官方鉴定已经死亡，但是后来发现他
仍然活着”。但是这句话又只能具有概然性，所以一定是记载的官方错误所
组成的系列中的一个错误，这些错误之中有些后来发现并不是错误。这就是
说我们必须收集人们错误地相信一个已被鉴定死亡的人后来却发现仍然活着
的实例。这个过程永远也不会完结，如果我们的全部知识只具有概然性，并
且概率又只是统计结果的话。如果我们想避免无尽止的后退，并且如果我们
的全部知识只能具有概然性，那么我们就必须把“概然性”解释为“可信度”，
并且必须通过统计以外的方法来计算。统计上的概率只能在真正的或假定的
必然性的基础上来计算。
我将在谈到归纳时再来讲莱新巴哈。目前我想讲清楚我个人关于数学的
概率与自然的进程之间的关连的看法。让我们就伯诺利的大数定律的一个实
例进行具体说明，选择的是可能有的最简单情况。我们已经看到如果我们列
出由n 个不是1 就是2 的个位数组成的所有可能有的整数，那么如果n 大的
话——比方说不小于1000——可能出现的整数中有极大多数会具有相同数
目的1 和2。这只是下面这个事实的一个应用，即在（x＋y）n 的二项展开式
中当n 大时靠近中间的系数的和接近所有系数的和，这个和就是2n。但是这
和如果我常常抛掷钱币我将得到出正面和出反面的数目大概会相等这个说法
又有什么关系？一个是一件逻辑事实，而另一个则显然是一件经验的事实；
它们之间的关连是什么？
就“概然性”的某些解释来说，一个包括“概然性”这个词在内的命题
永远不能成为一个经验命题。人们承认不大可能的事可能发生；而可能的事
却可能不发生。由此可以看出：实际发生的事并不说明先前一个概然性的判
断是对还是错；每个可以想象的事件进程在逻辑上都可以和每个可以想象的
事前的概然性估计不相冲突。否定这一点只能通过我们主张很少可能的事不
会发生，而这一点正是我们没有权利来主张的。特别是如果归纳只断言概然
性，那么不管发生的是什么事都可以和归纳的真和伪同时存在。所以归纳原
理并没有经验的内容。这是一种归谬证法，表明我们必须把具有概然性的事
情和实际发生的情况结合得比我们有时做的更为紧密。
如果我们坚持有限频率说——直到现在我还没有发现不这样做的理由—
—我们将说如果我们已知“a 是一个B”断言“a 是一个A”具有概然性，那
么我们的意思是说事实上B 的大多数分子是A 的分子。这是一个关于事实的
命题，而不是一个关于a 的命题。并且如果我说一个归纳论证（经过适当方
式表达和限制之后）使其结论带有概然性，我的意思是说它是一类论证当中
的一个，这类论证中大多数具有真的结论。
现在如果我说钱币出正面的机会是一半，那么这句话可能表示的意思是
什么？首先，如果这句话为真，这就是一件经验的事实；从这件事实不能得
出抛掷钱币只有出正面和出反面两种可能性的结论。如果能够这样，我们就
能推论出一个生人叫作爱本兹·威尔克斯·斯密士的机会是一半，因为只有
两种可能的选择，即他叫这个名字或者不叫这个名字。就某些钱币来说，出
正面的次数多于出反面的次数；就另外一些钱币来说，出反面的次数多于出
正面的次数。如果我不确指某个钱币而说出正面的机会是一半，那么我的话
的意思是什么？
我的断言，同其它一切自认具有数学的精确性的关于经验的断言一样，
一定只是近似性质的。我说一个人的身高是6 英尺1 英寸，我说这活时已经
打出了误差范围；即使我发誓来说这句话，我也不会因为后来发现我的说法
与实际相差百分之一英寸而犯伪誓的罪。同样，如果发现0。500001 比我把钱
币出正面的机会估计为0。5 更为精确，我也不会被人认为是说了谎话。可是
是否有任何证据能让我认为0。500001 比0。5 要好，这却值得怀疑。在概率问
题上，象在其它问题上一样，我们也是采用接近符合事实的最简单的假设。
比方说拿落体定律来讲。加里略做了一定次数的观察，这些观察大体符合S＝1/2gt2 这个公式。没有疑问他可能发现过一个函数f（t）使得S＝f（t）
更加精确地符合他的观察，但是他却宁愿要一个简单的足以符合观察的公式
①。同样，如果我抛掷钱币2000 次，出正面的次数是999 次，而出反面的次
数是1001，我就可以把出正面的机会看成一半。但是我用这句话所表示的精
确意思到底是什么？
这个问题显示出莱新巴哈定义的力量。按照他的说法，我所表示的意思
① 参看杰弗雷著《概率论》和《科学推论》。
是：如果我相当长久地继续做下去，出正面的比例迟早将达到总在接近1/2
左右；事实上，它与1/2 之差将小于任何不管怎样小的分数。这是一个预言；
如果预言正确，我的概率估计就正确，如果预言不正确，我的概率估计也不
正确。有限频率说能够用什么理由来反对这一点呢？
我们必须把概率是多少与概率可能是多少区别开来。关于概率是多少的
问题，这要决定于我们正在研究的抛掷的类。如果我们是在研究抛掷一个特
指的钱币，那么如果在钱币的整个存在期间，这个钱币在全部n 次抛掷当中
将出m 次正面，则该钱币出正面的概率就是m/n。如果我们是在研究一般的
钱币，那么n 就将是在世界历史的全部过去和将来中抛掷钱币的总数而m 就
将是抛掷钱币将出正面的数目。为了不让问题的范围铺得太大，我们可以只
研究本年内英格兰抛掷钱币的数目，或者只研究从事概率研究的人所列出的
抛掷钱币的数目。在所有这些实例中，m 和n 是有限数，而m/n。是在这些已
知条件下出正面的概率。
但是上面所说的概率没有一种是已知的。我们因此必须对它们作出估
计，这就是说，找出某种确定它们大概是多少的方法。如果我们要坚持有限
频率说，这将表示我们的出正面和出反面的系列一定是某些有限类的系列之
一，并且我们必须具有关于整个这一类的有用知识。我们将假定人们已经观
察到在由某个特指的钱币的10， 000 次或更多次抛掷所组成的每一个系列
中，在第5000 次抛掷以后出正面的比例相差不会超过2ε，这里ε是很小的
数。然后我们就可以说：就每个观察到的实例来说，某个特指的钱币在第5000
次抛掷以后出正面的比例总在p—ε和p＋ε之间，这里P 是决定于钱币的一
个常数。从这个实例推论到一个尚未观察到的实例是归纳的问题。如果使这
个推论正确，我们将需要一个公理，即（在某些外界条件下）在所有观察到
的实例中出现的一个特点在所有实例的很大一部分中也将出现；或者我们至
少需要某个可以导出这种结论的公理。然后我们就能够从观察到的频率推论
出可能出现的概率，按照有限频率说来解释概率。
上面所说的只是一种理论的大意。根据我所主张的理论，我想强调的要
点是：每个概率叙述（与仅属可疑的陈述相对而言）都是关于一个系列中某
一部分的事实叙述。特别是不管归纳原则是真还是伪，