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知识这种东西。在实际应用上我们假定一类信念可以被认为是真的，如果（a）
所有仔细研究过它们的人都完全相信它们，（b）没有反对它们的正面论证（c）
没有任何已知理由可以认为如果它们不真人类还要相信它们。在这个基础
上，人们一般认为一方面是知觉判断，另一方面则是逻辑与数学，囊括了我
们知识中最带必然性的东西。我们将看到如果我们要得到科学的知识，除了
逻辑与数学之外，还需要补充某些超出逻辑范围以外的原理，其中归纳是迄
今为止（我认为这是错误的）获得最普遍承认的一个原理。这些超出逻辑范
围以外的原理提出了一些我们要去研究的问题。
完全的合理性不在于相信真理而在于给予每一个命题以相当于它的可信
度的相信程度。就经验命题来讲，可信度是随着新的证据的发现而改变的。
在数学中，一个不是数学家的有理性的398 人会相信别人告诉他的知识；所
以在数学家发现他们的前辈著作中的错误的时候，他就会改变他的信念。数
学家尽管可能发生错误，他本人还不失为一个完全有理性的人，如果这个错
误在当时很难被人发现的话。我们是否应当把合理性作为目的是一个伦理上
的问题。我将在下一节里考察这个问题的某些方面。
E。概率和行为
巴特勒主教所说的概然性是人生的指南这句话是大家都熟悉的。让我们
简单看一下它可能表示的意思是什么，它在什么范围内是真的，以及相信它
具有它似乎具有的真理程度这件事包含着什么内容。
大多数伦理学说都属于两种类型之一。按照第一种类型的说法，好的行
为就是遵守某些规则的行为；按照第二种类型的说法，好的行为是为了实现
某些目的。还有一些不属于这两种类型的学说，但是就我们的目的来讲，我
们可以不必去管它们。
康德和十诫是属于第一种类型的学说的例证。诚然十诫不是这类学说中
的完全例证，因为十诫中有些条是有理由根据的。你一定不要崇拜偶像，因
为这样上帝会感到妒忌：你应当尊敬父母，因为这样可以减少你的死亡机会。
当然，人们可以很容易找到不去杀人和偷窃的理由，但是十诫中却没有讲到
这些。如果讲出理由，那就会有例外，一般来说常识已经承认这些例外，但
是圣经原文中却没有提到它们。
当我们把伦理学当作一些指导行为的规则的时候，概率在这里就不起什
么作用。只有在第二种类型的伦理学说，即那类认为善就在于完成某些目的
的伦理学说中，概率才是有关宏旨的东西。只就对于概率的关系而论，选择
什么样的目的所产生的差别是很小的。为了明确起见，让我们假定选择的目
的是使快乐最大限度地超过痛苦，而一次快乐和一次痛苦被认为相等，如果
一个具有机会的人对于他是否具有两者或者两者都不具有感到无动于衷。我
们可以把这个目的简单叫作得到最大限度快乐的目的。
我们不能说善良的人将按照事实上会得到最大限度快乐的方式行事，因
为他可能没有理由期待这种结果。如果希特勒的母亲在他婴儿时期就把他杀
死，这会是一件好事，但是她却不可能知道这一点。因而我们必须说善良的
人将在他的知识限度之内按照大概会得到最大限度快乐的方式行事。这里所
涉及的那种概率显然就是可信度。
我们所谈的这些概率可以用计算“预料”的规则来确定大小。这就是说，
如果有一个概率p，它表示某一件行为的结果当中可能有x 那样大的快乐，
那么这对于预料就提供了px 的分量。因为遥远的结果很少有可以看出的概
率，这就使得讲求实际的人有理由把目光通常只注意到他的行为的不太遥远
的结果上去。
另外还有一种要考虑到的情况：这里涉及的计算常常是很困难的，并且
在两种可能行为产生快乐的性质几乎相等时最为困难，在这种情况下选择就
变得不重要了。所以一般来讲不值得小心地去确定哪种行为产生最大的快
乐。这是使人们赞成行为规则的理由，即使我们的最基本的伦理观并不承认
这些行为规则：这些行为规则在最大多数的情况下可能是对的，使我们免于
在估计概然性的结果上耗费精力和时间。但是对于行为规则本身人们却应该
看其产生快乐的性质而小心地给以肯定，人们在作出真正重大的决定时有必
要想到这些规则并不是绝对的东西。币制改革通常就包含着某种类似盗窃的
行为，而战争就要杀人。决定是否改革币制或宣布战争的政治家必须深入考
察这些行为规则，尽全力估计到可能的后果。只有在这种意义下，概然性才
能作为人生的指南，并且只有在某些外界条件下才是这样。
可是这句格言还有另外一种比较平易近人的意思，也许这是巴特勒主教
所要说的意思。这就是我们在实际生活中把具有很高程度概率的事物看成带
有必然性的东西。这仅是一个常识问题，不会引起有关概串论的任何争论。
第七章概率与归纳法
A。问题的提出
归纳的问题是一个复杂的问题，它有着不同的方面和分支。我将从叙述
单纯列举的归纳法这个问题开始。
1。那个与它比较起来其它都是次要的基本问题是：已知一个类a 中许多
实例都已发现属于一个类β，那么这种情况使得（a）下一个a 将是一个β，
或者（b）所有的a 都是β，具有概然性吗？
2。如果这两者之一并不普遍为真，那么对于a 和β有没有可以发现使它
为真的限制？
3。如果加以适当限制这两者之一都为真，那么在这样的限制下，它是一
个逻辑的定律还是一个自然界的定律？
4。它可以从某个其它原理推导出来吗？例如自然界的种类，凯恩斯的有
限变异说，法则的支配，自然界的齐一性，或者其它原理。
5。归纳原理应当用一种不同形式说出来吗？也就是说：已知一个假设h
具有许多已知的真的后果并且没有已知的假的后果，这件事实能使h 具有概
然性吗，如果在一般情况下不能，在适当情况下它能做到这一点吗？
6。在归纳公设为真的情况下将使已被公认的科学推论正确有效的归纳公
设的最低限度形式是什么？
7。有没有任何理由，并且如果有的话是什么理由，使得我们认为这个最
低限度的公设为真？或者，如果没有这类理由，是否还有按照假定它为真来
行动的理由，在这些讨论中我们需要记住一般所用的“概然的”这个词在意
义上的含混不清。当我说在某些情况下，“大概”下一个a 将是一个β时，
我希望能够按照有限频率说来解释这个现象，但是如果401 我说归纳原理“大
概”是真的，我一定是在用“大概”这个词来表示高度的可信性。如果不把
“概然的”这个词所具有的这两种意义适当划分开来，就很容易发生混淆。
我们将要进行的这个讨论具有一段可以认为是从休谟开始的历史。就很
多次要问题来说，我们已经取得了确定的看法；有时这些次要的问题人们当
初并没有看出来。但是我们现在进行的研究已经使我们看得相当清楚：得出
成果的技术上的讨论对于主要问题的阐明并没有起多大作用，这个主要问题
大体上仍然和休谟留下来的情况一样。
B。单纯列举的归纳法
单纯列举的归纳法就是下面这个原理：“已知有n 个数目的a 已经发现
为β，并且没有a 已经发现不是β，那么这两个陈述：（a）‘下一个a 将是
一个β’，（b）‘所有的a 都是β’就都具有一种随着n 的增加而增加的概
率，并且当n 接近无限大时接近必然性而以它为极限”。
我将把（a）叫作“特殊归纳”，而把（b）叫作“一般归纳”。这样（a）
将根据我们关于过去人类都有死的知识推断某某先生也有死，而（b）则将推
断大概所有的人都有死。
在我们还没有接触到较难或有疑问的论点之前，某些比较重要的问题却
可以比较容易地得到解决。这些问题是：
1。如果归纳要完成我们期望它在科学中所完成的任务，“概率”的解释
就必须使得一个概率陈述断言一件事实；这就要求所涉及的那种概率应当从
真与伪推导出来，而不是一个不能下定义的概念；而这一点又能使有限频率
的解释或多或少成为不可避免的解释。
2。归纳在应用到自然数列的时候显然是无效的。
3。归纳作为一个逻辑原理是无效的。
4。归纳要求它所根据的实例是一个级数，而不仅仅是一个类。
5。为了使这个原理有效，不管需要规定什么限制，必须通过给a 和β这
些类下定义的内包的说法表达出来，而不是通过外延的说法。
6。如果宇宙中的事物数目是有限的，或者只有某个有限类对于这种归纳
有关，那么就一个足够大的n 来说，归纳就成为可以证明的东西；但是在实
际应用上这一点并不重要，因为这里所说的n 比任何实际研究中可能遇到的
一定更大。
我现在就来证明这些命题。
1。如果我们把“概然性”当作一个不可下定义的概念，我们就不得不承
认不大可能的事也可能发生，因此一个概率命题关于自然界的进程并没有向
我们提供任何知识。如果我们采取这个看法，归纳原理就可能是正确有效的，
然而每个符合这个原理的推论却可能证明为伪；这是不大可能，但并非不可
能的事。因此，一个使归纳为真的世界在经验界中是不能与一个使归纳为伪
的世界区别开来的。由此可以看出永远不可能找出任何支持或反对这个原理
的证据，并且它也不能帮助我们推论将要发生的事。如果这个原理要达到它
的目的，我们就必须把“概然”的意思解释为“实际上通常发生的事物”；
这就是说，我们必须把一个概率解释为一个频率。
2。算术中的归纳在算术中我们容易找出导致正确结论的归纳实例，也容
易找到其它导致错误结论的归纳实例。耶方斯举出两个实例：
5，15，35，45，65，95
7，17，37，47，67，97
在第一行中，每个以5 结尾的数都可以被5 整除；这就使人推想每个以
5 结尾的数都可以被5 整除，而这是对的。在第二行中，每个以7 结尾的数
是一个质数；这也可能使人推想每个以7 结尾的数都是质数，而这却是错误
的。
或者让我们看：“每个为偶数的整数是两个质数的和”。每个试过的实
例都说明这是对的，而这样的实例在数量上是很大403 的。然而人们对于它
是否永远为真这一点却一直抱着合理的怀疑。
作为算术归纳的一个明显失败的例，让我们看下面这个实例①：使π（x）
≤x 的质数的数目
li x
dt
t o
x
（ ）
log
= ò
我们知道当x 数大时，π（x）和li（x）几乎相等。我们还知道对于每
个已知的质数来说，π（x）＜li（x）
高斯推想过这个不等式永远为真。人们试过所有107 以下的质数以及许
① 看哈代的《腊玛努赞》第16，17 页。
多超过 107 的质数，都没有发现不能成立的个别情况。然而里脱伍德在1912
年却证明对于无限数目的质数来说这个不等式不能成立，斯古士（伦敦数学
学会通报，1933