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如果Ａ属于所有Ｂ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ｂ属于有些Ｃ和，（８）
如果Ａ属于无一Ｂ并且Ａ属于无一Ｃ，则Ｂ属于有些Ｃ。
那么，所有其它形式可以借助于规则（ｃ）
和（ｄ）
而加以排斥。
２１。一些未解决的问题A亚里士多德的非模态三段论系统是一个四常项的理论，这四个常项可以由“所有——是”
，“没有——是”
，“有些——是”与“有些——不是”来表示：这些常项是二元的函子。
这两个元由变项表示，并且仅仅以具体的普遍词项为值。
排除了用单一的、空的以及否定词项等作为它的值，各常项与其元在一起形成四类叫做前提的命题，即“所有Ａ是Ｂ”
，“没有Ａ是Ｂ”
，“有些Ａ是Ｂ”和“有些Ａ不是Ｂ”。
这系统可以称为“形式逻辑”
，因为具体词项，如“人”或“动物”
，并不属于它而仅系它的应用。
这系统不是思维形式的理论，它也不依赖于心理学；正如斯多亚派所正确地观察到的，它与“大于”关系的数学理论是相似的。
这四类前提借助于两个函子“如果——则”
与“并且”
形
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６０１第三章 亚里士多德三段论系统
成这系统的断定命题。
这些函子属于命题逻辑，命题逻辑是这系统的辅助理论。
在某些证明中，我们会遇见第三个命题函子，即命题的否定“这不是真的……”
，简化地用“非”表示。
这四个亚里士多德式的常项：“所有——是”
“没有——是”
，“有些——是”
，和“有些——不是”
，与三个命题常项：“如果——则”
，“并且”
，与“非”加在一起，就是三段论系统仅有的元素。
这个系统的所有断定命题，对于在其中出现的变项的所有的值而言，都是真的。
没有一个亚里士多德式三段论是作为带“所以”一词的推论规则而构成的，如像传统逻辑那样。
传统逻辑是一个不同于亚里士多德三段论系统的系统，而不应当与真正的亚里士多德逻辑搅混在一起。
亚里士多德划分三段论为三个格，但是他知道并承认第四格的所有三段论的式。
三段论划分为格没有什么逻辑上的重要性，而仅有一个实践的目的：我们要确信没有漏掉一个正确的三段论的式。
这系统是公理化的。
亚里士多德取第一格的头两个式，Ｂａｒｂａｒａ与Ｃｅｌａｒｅｎｔ，作为公理。
在这两条公理之外，我们还应当加上两条换位定律，因为它们都不能用三段论加以证明。
如果我们希望这个系统中有同一律：“所有Ａ是Ａ”
，我们就应假定它们是公理。
我们能够得到的最简单的基础，是取常项“所有——是”和“有些——是”为原始词项，凭着它们用命题否定来定义其它两个常项，并设定四条断定命题为公理，即两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式与Ｄａｔｉｓｉ式，或者Ｂａｒｂａｒａ式与ＤｉCｍａｒｉｓ式。
把这个系统建立在仅仅一条公理之上是不可能的，如果“原则”指的是与“公理”相同的东西的话，那么，寻
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２１。一些未解决的问题A ７０１
求亚里士多德的三段论的原则就是一种徒劳的企图。
“所谓全和零原则”
，在这个意义上，也不能是三段论的原则，并且亚里士多德本人也没有那样陈述它。
亚里士多德将所谓不完全的三段论化归为完全的，即化归为公理。
这里，化归指的是从公理出发对一个定理的证明或推导。
他使用三种证明：换位法，归谬法和显示法。
逻辑的分析表明：在头两类的所有证明中，包含着命题逻辑最基础部分的断定命题，即演绎理论。
亚里士多德直观地使用它们，但在他之后不久，命题逻辑的第一个系统的创始者——斯多亚派明白地陈述了它们之中的某一些断定命题，——复杂的易位律、和所谓“综合定理”
（后者曾被人归功于亚里士多德的发现，但它并不见于他现存的逻辑著作中）。
一个新的逻辑因素好像蕴藏在显示法证明之中；这些证明可借存在量词之助而得到解释。
存在量词系统地引入三段论理论，将完全改变这个系统：原始词项“有些——是”能由词项“所有——是”来定义，而许多为亚里士多德所不知道的新的断定命题将会出现。
由于亚里士多德本人在其三段论理论的最后提要中抛弃了显示法证明，这就没有必要把它引入他的系统了。
另一个新的逻辑因素包含在亚里士多德关于不能成立的三段论形式的研究中，那就是排斥。
亚里士多德通过具体词项的例证来排斥不正确的形式。
这个处理在逻辑上是对的，但它把与之没有密切联系的词项和命题引进了这个系统。
然而还有这样的情况，他运用另一种逻辑处理：把一个不正确的形式化为另一个已经排斥了的形式。
在这个提示的基础上，可以陈述一条与断定的分离规则相应的排斥规则。
这可看作是逻
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８０１第三章 亚里士多德三段论系统
辑研究的新领域的开端和应当解决的新问题。
亚里士多德并没有系统地研究所谓复合三段论（ｐｏｌｙｓｙｌ－ｌｏｇｉｓｍｓ）
，即带有三个以上词项和两个以上前提的三段论。
如我们已经看到的，加仑研究了包含四个词项和三个前提的复合三段论。
把第四格的作者看作是加仑是一个古老的逻辑错误。
加仑把四个词项的复合三段论划分为四个格，而不是划分我们熟知其中世纪名称的那些简单的三段论。
他的研究完全被遗忘了。
但复合三段论也属于三段论的理论并且应当加以考虑，在这里是另外一个应当加以系统地研究的问题。
对这个问题的重要的贡献是Ｃ。
Ａ。
麦雷狄士先生提出的那一组公式，这在前面第１４节的末尾处已经提到过了。
还剩下一个未曾为亚里士多德看到，但却是他的整个系统的最重要的问题：这就是判定问题。
有意义的三段论的表达式的数目是无穷的；它们的绝大多数确实是假的，但它们之中有一些可以是真的，如ｎ个词项的有效的复合三段论（无论ｎ是任何正整数）。
我们能够相信，我们的公理与推论规则一起，对于证明所有真的三段论表达式是足够的吗？
并且，同样地，我们能够相信在第２０节之末构造的排斥规则，对于排斥所有假的表达式是足够的吗（即使我们从公理上排斥了它们之中有限的数量）？
我于１９３８年在华沙大学我的数理逻辑讨论班上提出了这些问题。
一个我从前的学生，现任佛罗克拉夫（ｗｒｏｃｌａｗ）大学逻辑与方法论教授Ｊ斯卢派斯基找到了这两W个问题的解答。
他对第一个问题的回答是肯定的，而对于第二个问题的回答是否定的。
据斯卢派斯基说，要用第２０节所引用的规则（ｃ）和（ｄ）去排斥所有假的三段论的表达式，是不可
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２１。一些未解决的问题A ９０１
能的，即令这些表达式中的一个有限数目已经公理地排斥了。
无论怎样多的假表达式我们可以公理地排斥，除了公理地已排斥者外，总还会有不能加以排斥的其它的假表达式。
而要建立一个无穷的公理集合是不可能的：一条新的排斥规则必须加进这个系统以补足由四条公理所作出的亚里士多德逻辑的不充分的刻画。
这条规则是斯卢派斯基发现的。
斯卢派斯基专为亚里士多德的三段论所发现的排斥规则，可以陈述如下：令α与β表示亚里士多德逻辑的否定前提，亦即“没有Ａ是Ｂ”或“有些Ａ不是Ｂ”这种类型的前提，并令γ表示简单前提（任何类型的）
，或者后件为简单前提、前件为简单前提的合取的一个蕴涵式：如果表达式“如果α，则γ”与“如果β，则γ”都已被排斥，则表达式“如果α并且β，则γ”也必被排斥。
①这条规则与排斥规则（ｃ）和（ｄ）
，以及用公理方法排斥了的表达式“如果所有Ｃ是Ｂ并且所有Ａ是Ｂ，则有些Ａ是Ｃ”一起，可以使我们排斥这个系统中的任何假的表达式。
此外，如我们已提出的那样，假定三段论的四条断定的公理，Ｅ和Ｏ前提的定义，断定的表达式的推论规则，以及演绎理论作为辅助系统。
用这种办法，判定问题获得了解决：对于这个系统作出的任何有意义的表达式，我们可以决定它是否为真并可断定，或者它是否为假并须排
①Ｊ斯卢派斯基：《关于亚里士多德三段论理论的研究》（ＺｂａｄａｎDａｄｓｙｌｏW Cｇｉｓｔｙｋａｒｙｓｔｏｔｅｌｅｓａ）
，“佛罗克拉夫科学与文学学会会刊”
，Ｂ类，第９期，佛罗克拉夫１９４８年出版。
见讨论判定问题的第五章。
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０１１第三章 亚里士多德三段论系统
斥。
关于亚里士多德三段论理论的主要研究，由于这问题的解决而宣告终结。
还剩下的唯一的一个问题，或者甚至是一个等待解释的神秘之点就是：为了排斥这个系统的所有假的表达式，那么用公理方法排斥唯一一个假的表达式，亦即第二格的全称肯定前提与特称肯定结论的三段论形式，就是必要与充分的。
没有适合于这个目的的其它表达式。
这个奇怪的逻辑事实的解释也许可以导致逻辑领域内的若干新的发现。
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第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
２。符号系统的说明A这一章并不属于逻辑史。
它的目的是根据现代形式逻辑的要求，但与亚里士多德本人所陈述的观念密切联系，构造一个非模态三段论的系统。
现代形式逻辑是严格地形式化的。
为了得到一个精确的形式化理论，使用一套为此目的而发明的符号系统，比起使用有着自己的语法规律的普通语言要方便得多。
所以，我必须从这样一套符号系统的说明开始。
由于亚里士多德的三段论系统包括着命题逻辑的最基本部分（即演绎理论）
，我将同时说明这两个理论系统的符号表示法。
在这两个理论系统中，都有变项和常项出现。
变项由小写拉丁字母表示，常项由大写拉丁字母表示。
我用起首的字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ，…，表示亚里士多德逻辑的词项变项（ｔｅｒｍｖａｒｉCａｂｌｅｓ）。