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我用１，表示这个规则_的头一条，用２表示第二条。
_从以上全称量词的原始规则，得到两条导出规则：第一，（从规则２及简化定律）
一个真表达式，在约束出现于其中的_自由变项时，允许把全称量词置于它的前面；第二，（从规则１及命题的同一律）
，允许消掉位于真表达式之前的全称X
…… 136
４２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
量词。
这些规则怎样可以导出，我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。
从换位律：（９）ＣＩａｂＩｂａ就得到量化了的表达式（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ‘而从量化了的表达式（２６）又得到非量化的换位律（９）。
首先，从（９）到（２６）
Ｔ１０。
ＣｐＣｑｐ（简化定律）
Ｔ１０。
ｐＣＩａｂＩｂａ×Ｃ（９）—（２３）
＇（２３）ＣｑＣＩａｂＩｂａ应用规则２于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ，因为ｂ_与ａ都不在前件中出现：（２３）２ｂ×（２４）
‘（２４）ＣｑｂＣＩａｂＩｂａ‘（２４）２ａ×（２５）
‘（２５）ＣｑａｂＣＩａｂＩｂａ‘（２５）ｑＣｐＣｑ×ＣＴ１０－（２６）
＇（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ‘其次：从（２６）到（９）。
Ｔ５Ｃｐｐ（同一律）
Ｔ５。
ｐＣＩａｂＩｂａ×（２７）
＇（２７）ＣＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ我们应用规则１于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ：_（２７）１ｂ×（２８）
‘
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２５。三段论系统的基本要素A ５２１
（２８）ＣｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ‘（２８）１ａ×（２９）
‘（２９）ＣａｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ‘（２９）×Ｃ（２６）—（９）
（９）ＣＩａｂＩｂａ亚里士多德断定：“如果有些ａ是ｂ，那么，有些ｂ应是ａ就是必然的”
，依我看，“就是必然的”这表达词只能有这个意思：要找到变项ａ和ｂ的那样的值，它会确证前件而不能确证后件，那是不可能的。
换句话说，那就是指“对于所有ａ与所有ｂ而言，如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ。”这就是我们的量化的断定命题（２６）。
这个断定命题与非量化的换位律“如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ”
（它不包含必然性的记号）
是等值的，这是已经证明了的。
由于三段论的必然性是与全称量词等价的，所以它可以被省略，因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。
２５。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础：原始词项，公理，和推论规则。
我从对断定的表达式而言的基本要素开始，对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。
我取常项Ａ和Ｉ为原始词项，用它们来定义其它两个常项Ｅ和Ｏ：
Ｄｆ１
Ｅａｂ＝ＮＩａｂ
ｆ２
Ｏａｂ＝ＮＡａｂ。
为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定
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６２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
义：规则ＲＥ：ＮＩ在任何地方均可用Ｅ去替换，反之亦然。
规则ＲＯ：ＮＡ在任何地方均可用Ｏ去替换，反之亦然。
当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式及Ｄａｔｉｓｉ式：１。
Ａａ２。
Ｉａ３。
ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ（Ｂａｒｂａｒａ）
４。
ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ（Ｄａｔｉｓｉ）。
除了规则ＲＥ与ＲＯ之外，我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则：（ａ）代入规则：如果ａ是这一系统的一个断定的表达式，那么，用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。
唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。
（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。
我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。
命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。
在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。
ＣｐＣｑｐ（简化定律）
Ⅱ。
ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）
Ⅲ。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）
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２５。三段论系统的基本要素A ７２１
Ⅳ。
ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）
WⅤ。
ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）
Ⅵ。
ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）
Ⅶ。
ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）＇奇＋书＋网＇
Ⅷ。
ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。
ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。
ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。
ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。
ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。
ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。
ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。
所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。
断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。
公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。
无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）
而作出的。
于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。
我们系统的所有公理都是彼此独立的。
这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。
在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。
公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不
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８２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。
如同用＇０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。
公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。
其它公理均可确证。
公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它＇ ＇ ＇得出０其它均可确证。
公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。
我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。
对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。
Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。
在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。
让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。
公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得＇到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。
用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。
例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，
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２６。三段论的断定命题的推导A ９２１
公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。
但公理３，即“如果ｂ＋１ｃ并且ａ＋１ｂ，则ａ＋１Ｃ”
a就不能确证。
取３替ａ，２替ｂ，以及４替ｃ，则前提将会是真的，而结论是假的。
从以上的独立性证明得出：没有三段论的单个的公理或“原则”。
１—４这四条公理可以机械地用“并且”
这个字联结成为一个命题，但是它们在这个没有有机联系的合取式中，仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。
２６。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理１—４我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。
我希望在作了前面几节的解释之后，以后的证明就会是完全可以理解的。
在所有三段论的式中，大项用ｃ表示，中项用ｂ表示，小项用ａ表示。
大前提首先陈述，以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。
Ａ。换位定律Ⅶ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—５＇ ＇ ＇５。
ＣＡｂｃＣＩｂａＩａｃ５。
ｂａ，ｃａ，ａｂ×Ｃ１—６＇①在１９２９年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｓ
ｏｆ
ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌｏｇｉｃ）
（见第６２页，注①）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理１—４形式地推出（第１８０—１９０页）。
在上述教科书中说明的方法，由Ｉ。
Ｍ。
波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”
中稍作修改后加以采纳。
见《多明尼卡研究》（Ｄｏｍｉｎｉｃａｎ
ｓｔｕｄｉｅｓ）卷ｉ，牛津１９４８年版。
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０３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
６。
ＣＩａｂＩｂａ（Ｉ前提的换位律）
Ⅲ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５７＇ C７。
ＣＩｂａＣＡｂｃＩａｃ７。
ｂａ，ｃｂ×Ｃ２—８＇８。
ＣＡａｂＩａｂ（肯定前提的从属律）
Ⅱ。
ｑＩａｂ，ｒＩｂａ×Ｃ６—９＇