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我把这样的表达式叫做在我们的基础上是不能判定的。
不能判定的表达式在亚里士多德逻辑中可以是真的也可以是假的。
当然，表达式ＣＩａｂＣＮＡａｂ
Ａｂａ是假的。
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４１第五章 判定问题
为了在这个基础上解决判定问题，有两个问题必须解决。
第一个问题是：不能判定的表达式的数目是有穷的呢还是不是有穷的？
如果它是有穷的，判定问题是容易解决的：我们可以承认真表达式为新的断定公理，而作为公理排斥假的表达式。
然而，当不可断定的表达式的数目不是有穷的时候，这个方法是不能应用的。
我们不能断定或排斥无穷多的公理。
第二个问题在这个情况下提出：是否可能补足我们的公理和规则系统以便使得我们能够判定一个给定的表达式是不是应当被断定或排斥？
这两个问题均已由斯卢派斯基解决了：第一个问题的解决是否定的，办法是表明在我们的基础上的不可判定的表达式的数目不是有穷的；第二个问题的解决是肯定的，办法是加上一条新的排斥规则①。
我从第一个问题开始。
每一个传统逻辑的学生都熟悉用欧拉圈来解释三段论：根据这个解释，词项变项ａ，ｂ，ｃ，都用圆圈表示，前提Ａａｂ当且仅当圆圈ａ或等同于圆圈ｂ或包含于圆圈ｂ的时候才是真的，前提Ｉａｂ当且仅当圆圈ａ与ｂ有着共同的部分时，才是真的。
从而，前提Ｅａｂ，作为Ｉａｂ的否定，当且仅当圆圈ａ与ｂ没有任何共同部分，亦即它们彼此排斥时，才是真的。
所以，如果ａ与ｂ是等同的，Ｉａｂ是真的而Ｅａｂ是假的。
现在，我将研究有关这个圆圈的数目的种种假定。
这个圆
①见第９５页注①所引斯卢派斯基的论文。
我曾试图简化作者的论证，以便使得它们为未曾受过数学思维训练的读者们所理解。
当然，对于斯卢派斯基的观念的以后的解释是要由我独自负责的。
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２９。不能判定的表达式的数目A ５４１
圈的数目设定为我们的“论域”
，亦即我们解释的领域。
很明显，我们的基础的规则贯穿全部的解释仍然是正确的。
如果我们的论域包含着三个圆圈或者更多一些，四条断定的公理当然都被确证，而这个作为公理的排斥的表达式
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ被排斥，因为能够画出两个彼此排斥的圆圈ｃ和ａ都包含于第三个圆圈ｂ之中。
前提Ａｃｂ与Ａａｂ因而都真，而结论Ｉａｃ是假的。
表达式
P５９ａＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ也被排斥了。
因为我们能够画三个圆圈每一个都与其它两个排斥，因而前提Ｅｃｂ与Ｅａｂ都是真的而结论Ｉａｃ是假的。
所以，这个解释满足我们的基础的条件，而且所有我们的其它解释亦复如此。
现在让我们假定我们的论域只包括三个圆圈而没有更多的，并且让我们考虑以下的表达式：（Ｆ３）ＣＥａｂＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ。
这个表达式包含四个不同的变项，但它们每一个只能取三个值，因为我们只能画三个不同的圆圈。
无论用什么方式以这三个值来替代变项，两个变项总必定要接受同一个值，也即是必须等同。
但如果某一对变项，ａ与ｂ，或ａ与ｃ或ａ与ｄ，或ｂ与ｃ，或ｂ与ｄ，含有等同的元素，则相应的那个Ｅ前提就成为假的，而整个的蕴涵式，即表达式（Ｆ３）
，就被确证了；并且如果最后一对变项，ｃ与ｄ，有等同的元素，则结论Ｉｃｄ就成为真的，而整个蕴涵式也被确证了。
在只能画三个圆圈的条件下，表达式（Ｆ３）
是真的并且不能用我们的排斥的公理和规
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６４１第五章 判定问题
则加以反驳。
然而，如果我们假定我们的论域含有多于三个的圆圈，那么，我们可以画四个圆圈，它们每一个排斥其它三个，于是（Ｆ３）成为假的。
所以（Ｆ３）不能被我们的判定的公理和规则证明，由于用我们的公理和规则系统，（Ｆ３）既不能被证明，也不能被反驳，所以它是一个不可判定的表达式。
现在让我们考虑一个表达式，它有着这个形式（Ｆ４）Ｃα１Ｃα２Ｃα３，Ｃαｎβ包含ｎ个不同的变项：
ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ
并且让我们假定：（１）
（Ｆ４）的每一个前件，都是Ｅａｉａｊ型的，ａｉ不同于ａｊ；（２）后件β是Ｉａｋａｌ型的，ａｋ不同于ａｌ；（３）所有可能的不同变项的偶都出现在（Ｆ４）中。
如果我们的论域只含有（ｎ—１）个圆圈，（Ｆ４）就被确证了，因为某两个变项必须是等同的，并且或者前件之一成为假的，或者后件是真的。
但如果我们的论域包含多于（ｎ—１）
个圆圈，（Ｆ４）
就不能确证，因为可以画出几个圆圈，每一个都排斥其余的，使得所有前件成为真的，而后件是假的，所以（Ｆ４）是一个不能判定的表达式。
这样的不可判定的表达式在数目上是无穷的，因为ｎ可以是任何正整数。
很明显，在亚里士多德逻辑中它们都是假的，并且应被排斥，因为我们不能把亚里士多德逻辑限制在一个有穷数的词项中，而（Ｆ４）
形式的表达式当词项数目是无穷时就被反驳了。
这个无穷数目的不可判定的表达式除非作为公理来排斥，否则是无法排斥的，这是从以下考虑得出的：（Ｆ３）不能被我们的公理和规则系统所反驳，所以必须作为公
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３０。斯卢派斯基的排斥规则A ７４１
理加以排斥。
其次，一个包含着五个不同词项的不可判定的表达式（Ｆ４）
，我们的公理和规则系统以及与已被排斥的表达式（Ｆ３）
一起也不能予以反驳，也必须作为公理加以排斥。
对每一个（Ｆ４）
形式的其它的不可判定的表达式都可以重复这样的论证。
因为不能作为公理排斥无穷数目的表达式，我们必须寻求另外的手段，如果我们想肯定地解决判定问题的话。
３０。斯卢派斯基的排斥规则A我从两个术语的说明开始：Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ，Ｏａｂ类型的表达式，我称为简单的表达式；头两个是简单肯定表达式，而三、四两个是简单否定表达式。
简单表达式以及这种类型的表达式：
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC（其中所有α都是简单表达式）
，我都称为初等表达式。
斯卢派斯基排斥规则可以借助于这个术语陈述如下：如果α和β都是简单否定表达式并且γ是一个初等表达式，那么，如果Ｃαγ与Ｃβγ都被排斥，则ＣαＣβγ必定也被排斥。
斯卢派斯基排斥规则与传统逻辑的下列元逻辑原则（ｍｅｔａｌｏ－ｇｉｃａｌ
ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）
有密切联系：“ｕｔｒａｑｕｅ
ｓｉ
ｐｒａｅCｍｉｓａ
ｎｅｇｅｔ，ｎｉｌ
ｉｎｄｅ
ｓｅｑｕｅｔｕｒ。“
（如果两前提都是否定的，那么不能得出结论。）然而这个原则并不是十分普遍的，因为它仅仅涉及三个词项的简单三段论。
同一原则的另一公式，“ｅｘｍｅｒｅ
ｎｅｇａｔｉｖｉｓ
ｎｉｈｉｌ
ｓｅｑｕｉｔｕｒ，“
（“仅从否定前
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８４１第五章 判定问题
提不能得结论“）
，表面看来是更为普遍的，但是把它不仅用于三段论而且也用于三段论系统的其它表达式时，它却是假的。
像断定命题ＣＥａｂＥｂａ或ＣＥａｂＯａｂ这样的表达式明明表现出仅从否定前提可以得出某些东西。
斯卢派斯基规则是一条普遍规则，而且避免了传统公式的困难。
为了弄清楚斯卢派斯基规则，让我们更充分地解释这一点。
命题Ａａｃ不能从前提Ａａｂ或者从前提Ａｂｃ得出；但当我们联结这些前提成为“Ａａｂ并且Ａｂｃ”时，我们就从Ｂａｒｂａｒａ式得到结论Ａａｃ。
Ｅａｃ不能从Ｅｂｃ得出，也不能从Ａａｂ得出；但从这些前提的合取“Ｅｂｃ并且Ａａｂ”用Ｃｅｌａｒｅｎｔ式，我们就得到结论Ｅａｃ。
在这两个场合，我们都从前提的合取得到某个新的命题，这些新的命题是前提中的任何孤立的一个所不能得出的。
然而，如果我们有两个否定命题，像Ｅｃｂ与Ｅａｂ，当然我们能够从第一个得到结论Ｏｃｂ而从第二个得到结论Ｏａｂ，但是从这两个否定命题的合取，除了那些从它们各自孤立地得出的新命题外，不能得出任何新命题。
这就是斯卢派斯基排斥规则的意思：如果γ并不从α或从β得出，它也不能从α与β的合取式得出，因为从两个否定前提不能得出它们孤立地并未得出的任何东西。
斯卢派斯基规则是与传统逻辑的相应规则同样的浅显明白。
现在我将表明这个规则怎样能够应用于排斥不能判定的表达式。
为此目的，我把这规则用在符号的形式中。
用ＲＳ（Ｒｕｌｅ
ｏｆＳｌｕｐｅｃｋｉ）来表示它：ＲＳ。PＣαγ，PＣβγ，→PＣαＣβγ。
在这里犹如在任何地方一样，我用希腊字母表示满足某些条
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３０。斯卢派斯基的排斥规则A ９４１
件的变项表达式：这样，α和β必须是三段论系统的简单否定表达式，γ必须是一个象前面说明过的初等表达式，而且三个表达式必须使得Ｃαγ和Ｃβγ可以被排斥。
箭头（→）是“所以”的意思。
我想着重指出这个事实，即ＲＳ是一个特别的规则，只是对亚里士多德逻辑的否定表达式α和β才是正确的，并且，如我们已经看到的，它不能应用于三段论系统的肯定表达式。
它也不能应用于演绎理论。
这一点可从下面的例子得出：表达式ＣＮＣｐｑｒ与ＣＮＣｑｐｒ都不是真的，并且都应当被排斥（如果排斥已引入这个理论之中的话）
，但是ＣＮＣｐｑＣCＮＣｑｐｒ却是一个断定命题。
同样，在代数中，从前提“ａ不小于ｂ”或从前提“ｂ不小于ａ”都不能得出命题“ａ等于ｂ”
，但是它从这些前提的合取式中得出。
作为这条新规则的首次应用，我将表明已被作为公理排斥的表达式
P