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作为这条新规则的首次应用，我将表明已被作为公理排斥的表达式
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，现在能被反驳。
这一点来自以下的推导：
９。
ｐＥａｃ，ａｃ，ｂａ×７９＇ ＇ ＇７９。
ＣＥａｃＩｃａＣＥａｃＩａｃ
７９×ＣP８０－P６４P８０。
ＣＥａｃＩｃａP８０×P８１。
ｃａ，ｂｃ，ａｃ＇ P８１。
ＣＥｃｂＩａｃP６４×P８２。
ｂｃ＇ P８２。
ＣＥａｂＩａｃ
ＲＳ。
αＥｃｂ，βＥａｂ，γＩａｃ×P８１，P８２→P８３＇
…… 162
０５１第五章 判定问题
P８３。
ＣＥｃｂＣＥａｂＩａｃ。
ＲＳ规则在这里得到了第一次的应用；α和β是简单否定表达式，而γ也是一个简单表达式。
从P８３我们用输出律Ⅶ得出公式P５９ａ：Ⅶ。
ｐＥｃｂ，ｑＥａｂ，ｒＩａｂ×８４＇ ＇ ＇８４。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃＣＥｃｂＣＥａｂＩａｃ
８４×ＣP５９ａ－P８３P５９ａ。
ＣＫＥＣＢＥａｂＩａｃ从以上所述可知斯卢派斯基规则强于我们作为公理排斥的表达式P５９ａ。
由于P５９ａ应被消去，公式５９，即ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃP成了剩下的作为公理排斥的唯一的表达式。
其次我将应用ＲＳ规则再一次地反驳公式（Ｆ３）
：P６４×P８５。
ｄｃ，ｃａ＇ P８５。
ＣＥａｄＩｃｄP８５×P８６。
ｂａ＇ P８６。
ＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｄ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P８５，P８６→P８７＇ ＇ ＇ P８７。
ＣＥａｄＣＥｂｄＩｃｄP８０×P８８。
ｂａ，ｄａ＇ ＇ P８。
ＣＥｂｃＩｃｄ
ＲＳ。
αＥｂｃ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P８８，P８６→P８９＇ P８９。
ＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｄ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P８７，P８９→P９０＇ P９０。
ＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄP８８×P９１。
ａｂ＇
…… 163
３１。演绎的等值式A １５１
P９１。
ＣＥａｃＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｃ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P９１，P８６→P９２＇ P９２。
ＣＥａｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｃ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P９２，P８９→P９３＇ P９３。
ＣＥａｃＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｃ，βＥａｄ，γＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９３，P９０＇→P９４P９４。
ＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄP５×P９５，ｂｄ＇ P９５。
ＣＥａｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｂ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P９５，P８６→P９６＇ P９６。
ＣＥａｂＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｂ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P９６，P８９→P９７＇ P９７。
ＣＥａｂＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｂ，βＥａｄ，γＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９７，P９０＇ ＇ ＇→P９８P９８。
ＣＥａｂＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ
ＲＳ。
αＥａｄ，βＥａｃ，γＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９８，＇ ＇ ＇ P９４→P９９P９
ＣＥａｂＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄＲＳ规则在这个推导中用了十次；α和β总是简单否定表达式，而γ在任何地方都是一个初等表达式。
用同样方式，我们能反驳（Ｆ４）
形式的其它公式，并且也能反驳第２８节的公式（Ｆ１）
，然而，没有必要进行这些推导，因为现在我们能够提出一般的判定问题。
…… 164
２５１第五章 判定问题
３１。演绎的等值式A对于我们的判定证明，我们需要演绎的或推论的等值式的概念。
我认为由于对待这个概念有着一些误解，因此，它的意义必须谨慎地定义。
我将在演绎理论的基础上来做到这一点。
通常说有两个表达式α和β，当其如果α被断定了，就可以从α推导出β，反之，如果β被断定了，就可以从β推导出α，我们就说α与β是彼此演绎地等值的。
推论的各种规则总假定为已给定的，但它们很少是充分的。
例如，它们在下面的例子中是充分的。
从断定的交换律ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ，我们能推导出断定命题ＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒ：（１）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（１）ｐＣｐＣｑｒ，ｒＣｐｒ×Ｃ（１）—（２）
＇（２）ＣｑＣｐｃｑｒＣｐｒ，从这个断定命题我们能够再推导出交换律：（２）
ｑＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒ，ｐｓ，ｒｔ×Ｃ（２）—（３）
＇（３）ＣＣｓＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒｔＣｓｔ（２）ｑＣｐＣｑｒ，ｐｑ，ＴＣｐｒ×（４）
＇ ＇ ＇（４）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒＣｑＣｐｒ（３）ｓＣｐＣｑｒ，ｔＣｑＣｐｒ×Ｃ（４）—（１）
＇（１）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ①
但是我们不能用这个简单方法从断定的表达式ＣＮｐＣｐｑ推
①① 这个简洁的推导是Ａ塔尔斯基在华沙提出的。
W
…… 165
３１。演绎的等值式A ３５１
导出邓斯司各脱定律ＣｐＣＮｐｑ，因为我们只能用代入规则从W第一个表达式推出新命题，而所有的ＣＮｐＣｐｑ的代入都是以ＣＮ开头的，没有一个是用Ｃｐ开头。
要从另外一个表达式推导出那些表达式中的一个来，我们必须要有进一步的支持。
一般地说，演绎等值式的关系少有是绝对的，而在大多数场合，它是与一些断定命题的某一个基础相关的。
在我们的场合，这个基础就是交换律。
从（５）ＣＮｐＣｐｑ开始，我们用交换律得到邓斯司各脱定律：W（１）ｐＮｐ，ｑｐ，ｒｑ×Ｃ（５）—（６）
＇（６）ＣｐＣＮｐｑ，并且从（６）开始，我们又用交换律再得到（５）
：（１）ｑＮｐ，ｒｑ×Ｃ（６）—（５）
＇（５）ＣＮｐＣｐｑ。
所以我说ＣＮｐＣｐｑ与ＣｐＣＮｐｑ就交换律而言是演绎地等值的，并且我写作：
ＣＮｐＣｐｑ～ＣｐＣＮｐｑ对（１）而言。
记号～表示演绎的等值式的关系。
这个关系不同于通常的等值关系（此处用Ｑ表示）。
通常的等值关系是用两个彼此互相换位的蕴涵式的合取式来定义的，
Ｑｐｑ＝ＫＣｐｑＣｑｐ，而不需要任何基础。
如果一个通常的等值关系Ｑαβ被断定了，并且α或α的一个替代者也被断定了，那么，我们就能断定β，或β的相应的替代者，并且，反之亦然。
所以，一个断定的通常的等值式Ｑαβ对于演绎的等值式α～β是一个充分
…… 166
４５１第五章 判定问题
的基础；但是它并非是必要的基础，这恰好就是需要说明之点。
不仅断定的或真的表达式而且假的表达式都可以是演绎地等值的。
为了解决对于Ｃ—Ｎ系统的判定问题，我们必须把一个任意的有意义的表达式α变形为表达式ＣＮαπ，π是一个不在α中出现的命题变项。
这可以借助于两条断定命题做到：Ｓ１。
ＣｐＣＮｐｑＳ２。
ＣＮｐ。
我说对Ｓ１与Ｓ２而言，α与ＣＮαπ是演绎地等值的，并且我写作：Ⅰ。
α～ＣＮαπ对Ｓ１与Ｓ２而言。
当α被断定时，一切都容易进行。
以ＮＮＣｐｐ为例。
这是一个容易由０—１方法确证的断定命题。
根据公式Ｉ我陈述：
ＮＣｐ～ＣＮＣｐｑ对Ｓ１与Ｓ２而言。
从（７）ＮＮＣｐ开始，我们用Ｓ１得到：
Ｓ１。
ｐＮＮＣｐ×Ｃ（７）—（８）
＇（８）ＣＮＣｐｑ，并且从（８）开始，我们用代入和Ｓ２得到：（８）ｑＮＮＣｐ×（９）
＇（９）ＣＮＣｐＮＣｐ
Ｓ２。
ｐＮＮＣｐ×Ｃ（９）—（７）
＇（７）。
ＮＣｐ。
但α是一个任意的表达式；它可以是假的，例如Ｃｐｑ。
在这个
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３１。演绎的等值式A ５５１
场合公式Ⅰ读作：Ｃｐｑ～ＣＮＣｐｑｒ对Ｓ１与Ｓ２而言在这里，困难开始了：我们能从Ｓ１用代入ｐＣｐｑ，ｑｒ，得到＇ ＇断定命题ＣＣｐｑＣＮＣｐｑｒ，但我们不能从这个断定命题引出后件ＣＮＣｐｑｒ，因为Ｃｐｑ不是一个断定命题并且不能加以断定。
所以ＣＮＣｐｑｒ不能被分离出来。
还有一个更大的困难在另一个方向出现：我们能够从Ｓ２用代入ｐＣｐｑ得到断定命题ＣＣ＇ CＮＣｐｑＣｐｑＣｐｑ，但ＣＮＣｐｑＣｐｑ没有被断定，我们也不能从ＣＮＣｐｑｒ用代入得到ＣＮＣｐｑＣｐｑ，因为ＣＮＣｐｑｒ不是一个断定命题。
我们不能说：假定Ｃｐｑ被断定了，那么，就会得出ＣＮＣｐｑｒ。
断定一个假的表达式是一个错误。
而我们不能希望用一个错误来证明任何东西。
因此公式Ⅰ看来不是对所有的表达式而只是对那些被断定的表达式才是正确的。
照我看，只有一个办法来避免这些困难：那就是把排斥引入演绎理论。
我们作为公理排斥变项ｐ，并且承认清楚的排斥规则（ｃ）和（ｄ）。
在这个基础上就能够容易地表明Ｃｐｑ必定被排斥。
因为我们从公理（P１０）ｐ以及断定命题（１）ＣＣｐ用排斥规则可得：（１）×Ｃ（P１２）—（P１０）
（P１２）ＣＣｐ（P１２）×（P１３）ｐＣｐ，ｑｐ＇（P１３）Ｃｐｑ。
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６５１第五章 判定问题
现在我们能够证明如果Ｃｐｑ被排斥，ＣＮＣｐｑｒ必定也被排斥；以及相反地，如果ＣＮＣｐｑｒ被排斥，Ｃｐｑ必定也被排斥。
从（P１３）Ｃｐｑ开始，我们用Ｓ２及排斥规则得到：
Ｓ２。
ｐＣｐｑ×（１４）
＇（１４）ＣＣＮＣｐｑＣｐｑＣｐｑ（１４）