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亚里士多德的三段论-第29部分

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    作为这条新规则的首次应用,我将表明已被作为公理排斥的表达式

    P59a。

    CKEcbEabIac,现在能被反驳。

    这一点来自以下的推导:

    9。

    pEac,ac,ba×79'                  '        '79。

    CEacIcaCEacIac

    79×CP80-P64P80。

    CEacIcaP80×P81。

    ca,bc,ac' P81。

    CEcbIacP64×P82。

    bc' P82。

    CEabIac

    RS。

    αEcb,βEab,γIac×P81,P82→P83'

…… 162

    051第五章 判定问题

    P83。

    CEcbCEabIac。

    RS规则在这里得到了第一次的应用;α和β是简单否定表达式,而γ也是一个简单表达式。

    从P83我们用输出律Ⅶ得出公式P59a:Ⅶ。

    pEcb,qEab,rIab×84'               '                 '84。

    CKEcbEabIacCEcbCEabIac

    84×CP59a-P83P59a。

    CKECBEabIac从以上所述可知斯卢派斯基规则强于我们作为公理排斥的表达式P59a。

    由于P59a应被消去,公式59,即CKAcbAabIacP成了剩下的作为公理排斥的唯一的表达式。

    其次我将应用RS规则再一次地反驳公式(F3)

    :P64×P85。

    dc,ca' P85。

    CEadIcdP85×P86。

    ba' P86。

    CEbdIcd

    RS。

    αEad,βEbd,γIcd×P85,P86→P87'                '                 ' P87。

    CEadCEbdIcdP80×P88。

    ba,da'            ' P8。

    CEbcIcd

    RS。

    αEbc,βEbd,γIcd×P88,P86→P89' P89。

    CEbcCEbdIcd

    RS。

    αEad,βEbc,γCEbdIcd×P87,P89→P90' P90。

    CEadCEbcCEbdIcdP88×P91。

    ab'

…… 163

    31。演绎的等值式A                                                                    151

    P91。

    CEacIcd

    RS。

    αEac,βEbd,γIcd×P91,P86→P92' P92。

    CEacCEbdIcd

    RS。

    αEac,βEbc,γCEbdIcd×P92,P89→P93' P93。

    CEacCEbcCEbdIcd

    RS。

    αEac,βEad,γCEbcCEbdIcd×P93,P90'→P94P94。

    CEacCEadCEbcCEbdIcdP5×P95,bd' P95。

    CEadIcd

    RS。

    αEab,βEbd,γIcd×P95,P86→P96' P96。

    CEabCEbdIcd

    RS。

    αEab,βEbc,γCEbdIcd×P96,P89→P97' P97。

    CEabCEbcCEbdIcd

    RS。

    αEab,βEad,γCEbcCEbdIcd×P97,P90'                '              '→P98P98。

    CEabCEadCEbcCEbdIcd

    RS。

    αEad,βEac,γCEadCEbcCEbdIcd×P98,'              '              ' P94→P99P9

    CEabCEacCEadCEbcCEbdIcdRS规则在这个推导中用了十次;α和β总是简单否定表达式,而γ在任何地方都是一个初等表达式。

    用同样方式,我们能反驳(F4)

    形式的其它公式,并且也能反驳第28节的公式(F1)

    ,然而,没有必要进行这些推导,因为现在我们能够提出一般的判定问题。

…… 164

    251第五章 判定问题

    31。演绎的等值式A对于我们的判定证明,我们需要演绎的或推论的等值式的概念。

    我认为由于对待这个概念有着一些误解,因此,它的意义必须谨慎地定义。

    我将在演绎理论的基础上来做到这一点。

    通常说有两个表达式α和β,当其如果α被断定了,就可以从α推导出β,反之,如果β被断定了,就可以从β推导出α,我们就说α与β是彼此演绎地等值的。

    推论的各种规则总假定为已给定的,但它们很少是充分的。

    例如,它们在下面的例子中是充分的。

    从断定的交换律CCpCqrCqCpr,我们能推导出断定命题CqCpCqrCpr:(1)CCpCqrCqCpr(1)pCpCqr,rCpr×C(1)—(2)

    '(2)CqCpcqrCpr,从这个断定命题我们能够再推导出交换律:(2)

    qCqCpCqrCpr,ps,rt×C(2)—(3)

    '(3)CCsCqCpCqrCprtCst(2)qCpCqr,pq,TCpr×(4)

    '                     '            '(4)CCpCqrCqCpCqrCprCqCpr(3)sCpCqr,tCqCpr×C(4)—(1)

    '(1)CCpCqrCqCpr①

    但是我们不能用这个简单方法从断定的表达式CNpCpq推

    ①① 这个简洁的推导是A塔尔斯基在华沙提出的。

    W

…… 165

    31。演绎的等值式A                                                            351

    导出邓斯司各脱定律CpCNpq,因为我们只能用代入规则从W第一个表达式推出新命题,而所有的CNpCpq的代入都是以CN开头的,没有一个是用Cp开头。

    要从另外一个表达式推导出那些表达式中的一个来,我们必须要有进一步的支持。

    一般地说,演绎等值式的关系少有是绝对的,而在大多数场合,它是与一些断定命题的某一个基础相关的。

    在我们的场合,这个基础就是交换律。

    从(5)CNpCpq开始,我们用交换律得到邓斯司各脱定律:W(1)pNp,qp,rq×C(5)—(6)

    '(6)CpCNpq,并且从(6)开始,我们又用交换律再得到(5)

    :(1)qNp,rq×C(6)—(5)

    '(5)CNpCpq。

    所以我说CNpCpq与CpCNpq就交换律而言是演绎地等值的,并且我写作:

    CNpCpq~CpCNpq对(1)而言。

    记号~表示演绎的等值式的关系。

    这个关系不同于通常的等值关系(此处用Q表示)。

    通常的等值关系是用两个彼此互相换位的蕴涵式的合取式来定义的,

    Qpq=KCpqCqp,而不需要任何基础。

    如果一个通常的等值关系Qαβ被断定了,并且α或α的一个替代者也被断定了,那么,我们就能断定β,或β的相应的替代者,并且,反之亦然。

    所以,一个断定的通常的等值式Qαβ对于演绎的等值式α~β是一个充分

…… 166

    451第五章 判定问题

    的基础;但是它并非是必要的基础,这恰好就是需要说明之点。

    不仅断定的或真的表达式而且假的表达式都可以是演绎地等值的。

    为了解决对于C—N系统的判定问题,我们必须把一个任意的有意义的表达式α变形为表达式CNαπ,π是一个不在α中出现的命题变项。

    这可以借助于两条断定命题做到:S1。

    CpCNpqS2。

    CNp。

    我说对S1与S2而言,α与CNαπ是演绎地等值的,并且我写作:Ⅰ。

    α~CNαπ对S1与S2而言。

    当α被断定时,一切都容易进行。

    以NNCpp为例。

    这是一个容易由0—1方法确证的断定命题。

    根据公式I我陈述:

    NCp~CNCpq对S1与S2而言。

    从(7)NNCp开始,我们用S1得到:

    S1。

    pNNCp×C(7)—(8)

    '(8)CNCpq,并且从(8)开始,我们用代入和S2得到:(8)qNNCp×(9)

    '(9)CNCpNCp

    S2。

    pNNCp×C(9)—(7)

    '(7)。

    NCp。

    但α是一个任意的表达式;它可以是假的,例如Cpq。

    在这个

…… 167

    31。演绎的等值式A                                                                551

    场合公式Ⅰ读作:Cpq~CNCpqr对S1与S2而言在这里,困难开始了:我们能从S1用代入pCpq,qr,得到'           '断定命题CCpqCNCpqr,但我们不能从这个断定命题引出后件CNCpqr,因为Cpq不是一个断定命题并且不能加以断定。

    所以CNCpqr不能被分离出来。

    还有一个更大的困难在另一个方向出现:我们能够从S2用代入pCpq得到断定命题CC' CNCpqCpqCpq,但CNCpqCpq没有被断定,我们也不能从CNCpqr用代入得到CNCpqCpq,因为CNCpqr不是一个断定命题。

    我们不能说:假定Cpq被断定了,那么,就会得出CNCpqr。

    断定一个假的表达式是一个错误。

    而我们不能希望用一个错误来证明任何东西。

    因此公式Ⅰ看来不是对所有的表达式而只是对那些被断定的表达式才是正确的。

    照我看,只有一个办法来避免这些困难:那就是把排斥引入演绎理论。

    我们作为公理排斥变项p,并且承认清楚的排斥规则(c)和(d)。

    在这个基础上就能够容易地表明Cpq必定被排斥。

    因为我们从公理(P10)p以及断定命题(1)CCp用排斥规则可得:(1)×C(P12)—(P10)

    (P12)CCp(P12)×(P13)pCp,qp'(P13)Cpq。

…… 168

    651第五章 判定问题

    现在我们能够证明如果Cpq被排斥,CNCpqr必定也被排斥;以及相反地,如果CNCpqr被排斥,Cpq必定也被排斥。

    从(P13)Cpq开始,我们用S2及排斥规则得到:

    S2。

    pCpq×(14)

    '(14)CCNCpqCpqCpq(14)
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