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亚里士多德的三段论-第30部分

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    S2。

    pCpq×(14)

    '(14)CCNCpqCpqCpq(14)×C(P15)—(P13)

    (P15)CNCpqCpq(P15)×(P16)

    rCpq'(P16)CNCpqr。

    在另一方向从(P16)用S1我们容易地得到Cpq:

    S1。

    pCpq,qr×(17)

    '(17)CCpqCNCpqr(17)×C(P13)—(P16)

    (P13)Cpq。

    公式Ⅰ现在已充分地被证明了。

    然而,我们必须校正我们前面的演绎等值式的定义,说成:两个表达式就某些断定命题而言是演绎地互相等值的,当且仅当我们能够用这些断定命题和推论规则来证明:如果那些表达式之一被断定,另一个必定也被断定,或者如果它们中的一个被排斥,其它一个必定也被排斥。

    从这个定义可知通常的等值式不是演绎等值式的一个必要的基础。

    如果Qαβ是一个断定命题,对于Qαβ而言,α是演绎地等值于β这是真的;但是如果对于某些断定命题而言α

…… 169

    32。化归为初等表达式A                                                                     751

    是演绎地等值于β,那么Qαβ是一个断定命题就并不总是真的了。

    以刚才考虑的演绎等值式为例:

    Cpq~CNCpqr对S1与S2而言。

    其相应的通常的等值式QCpqCNCpqr不是一个断定命题,因为它对于p1,q0,r1来说乃是假的。

    '很明显,演绎等值的关系是自返的,对称的和传递的。

    有这种情况,对于某些断定命题而言,α是演绎地等值于两个表达式β并且γ。

    那就是说:如果α被断定,则β被断定并且γ被断定,并从而它们的合取式“β并且γ”被断定;而反之,如果β和γ两者,或它们的合取式“β并且γ”被断定了,那么α也被断定。

    再有,如果α被排斥,则合取式“β并且γ”必定被排斥,而且在这个场合,只要β和γ两者之一应被排斥就足够了,而反之,如果它们中有一个被排斥,α必定也被排斥。

    32。化归为初等表达式A我们的判定的证明是基于以下定理:(TA)亚里士多德三段论系统的每一个有意义的表达式都能够用一个演绎地等值的方法(对于演绎理论的断定命题而言)

    化归为一组初等表达式,亦即具有形式

    Cα1Cα2Cα3…

    Cαn1CαnC的表达式,其中所有α都是三段论系统的简单表达式,亦即Aab,Iab,Eab,和Oab类型的表达式。

    所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者

…… 170

    851第五章 判定问题

    能够容易地被变形为初等表达式。

    换位定律,如CIabIba或CAabIba,都是初等表达式。

    所有三段论都是CKαβγ形式,而这类表达式都是演绎地等值于CαCβγ形式的初等表达式(对于输出和输入定律而言)。

    但是还有三段论系统的其它有意义的表达式,有些是真的,有些是假的,却并不是初等表达式。

    我们已经碰到过这样一个表达式,即是断定命题78,CCCNAabAbaIab,它的前件不是一个简单表达式,而是一个蕴涵式。

    当然,有无穷的这样的表达式,并且它们全都应当在判定的证明中加以考虑。

    定理(TA)在演绎理论的一个类似的定理(TB)的基础上能够容易地被证明:(TB)每一个以C和N为原始词项的演绎理论的有意义的表达式,都能够用一个演绎地等值的方法(对于有穷数的断定命题而言)化归为一组

    Cα1Cα2Cα3…

    Cαn1CαnC形式的初等表达式,其中所有α都是简单表达式,亦即或者是变项或者是它们的否定式。

    这个定理的证明是不容易的,但是,由于它对于判定问题来说乃是精华所在,所以不能加以省略。

    下面所作的(TB)

    的证明是为对形式逻辑有兴趣的读者提出的;没有受过数理逻辑训练的读者可以把(TA)

    ,(TB)

    两条定理当作是认可的东西。

    令α是演绎理论的任意的一个有意义的表达式,并且它不同于变项(它可以,但是并不需要,加以变形)

    :如我们所知,每一个这样的表达式,都能够用演绎地等值的方法,对

…… 171

    32。化归为初等表达式A                                                            951

    于断定命题S1与S2而言:S1。

    CpCNpqS2。

    CNp变形为表达式CNαπ,其中π是一个不在α中出现的变项。

    因此,我们有变形Ⅰ:Ⅰ。

    α~CNαπ对于S1与S2而言。

    变形Ⅰ允许我们把所有有意义的表达式化归为蕴涵式(有一个变项作为它们的最后的词项)。

    现在我们必须试着将CNαπ的前件Nα变为一个变项或它的否定。

    为此目的,我使用以下三项变形:Ⅱ。

    CNαβ~Cαβ对于S3与S4而言Ⅲ。

    CNCαβγ~CαCNβγ对于S5与S6而言Ⅳ。

    Cαβγ~CNαγ,Cβγ对于S7,S8,S9而言相关的断定命题是:对于变形Ⅱ:S3。

    CNpqCpqS4。

    CpqCNpq;对于变形Ⅲ:S5。

    CNCpqrCpCNqrS6。

    CpCNqrCNCpqr;对于变形Ⅳ:S7。

    CpqrCNprS8。

    CpqrCqrS9。

    CNprCqrCpqr。

    现在让我们解释用这些变形我们怎样能够从CNαπ的前件中得到一个变项或它的否定式。

    在CNαπ中出现的表达式

…… 172

    061第五章 判定问题

    α,像C—N系统的每一个有意义的表达式一样可以或者是一个变项,或者是一个否定式,或者是一个蕴涵式。

    如果α是一个变项,就不需要任何变形;如果它是一个否定式,我们得到CNαβ,而根据变形Ⅱ,两个否定互相抵消;如果它是一个蕴涵式,我们从CNCαβγ得到等值的表达式CαCNβγ,它的前件α比原来的前件NCαβ简单,这个新的α又可以是一个变项(因而也勿需变形)

    ,或是一个否定式(这个情况已经解决过了)

    ,或是一个蕴涵式。

    在最后这个情况中,我们从CCαβγ得到两个表达式CNαγ和Cβγ,它们有着比原前件Cαβ简单一些的前件。

    Ⅱ,Ⅲ和Ⅳ的重复地应用,我们必定最后地在一个前件中达到一个变项或它的否定式。

    现在让我们用例子来看一看这些变形是如何工作的。

    第一个例子:NCpNCp~CNCpq由Ⅰ;CNCpq~CNCpq由Ⅱ;CNCpq~CpCNpq由Ⅲ。

    NCp就这样化归为表达式CpCNpq,它在前件中有变项p。

    CpCNpq是一个初等表达式。

    第二个例子:CpqpCpqp~CNCpqpr由Ⅰ;CNCpqpr~CpqpCNpr由Ⅲ;CpqpCNpr~CNCpqCNpr,CpCNpr由ⅣCNCpqCNpr~CpCNqCNpr由Ⅲ。

    Cpqpp就这样化归为两个表达式:CpCNqCNpr与CpCNCpr,两者在前件中都有变项p;两者都是初等表达式。

…… 173

    32。化归为初等表达式A                                                                                   161

    第三个例子:CpqpCpqpCpqpCqp~CNCpqCqpr由Ⅰ;CNCpqCqpr~CpqCNCqpr由Ⅲ;CpqCNCqpr~CNCpqCNCqpr,CqCNCqpr由Ⅳ;CNCpqCNCqpr~CpCNqCNCqpr由Ⅲ。

    CpqCqpp化归为两个表达式CpCNqCNCqpr以及CqCNCqpr,两者都在第一个前件中有一个变项。

    但是两者都不是初等表达式,因为第一个有着复杂的表达式NCqp作为它的第三个前件,而第二个有着同样的复杂的表达式作为它的第二个前件。

    我们能从最后的例子中看到,我们的任务还没有完成。

    用变形Ⅰ—Ⅳ我们能得到在第一个前件中有一个变项的蕴涵式,以及还有

    Cα1Cα2Cα3…

    Cαn1CαnC形式的表达式,但并非这个形式的所有前件(除α1之外)都必定是简单表达式。

    为了解除这样的复杂前件,我们需要三个进一步的变形:Ⅴ。

    CαCβγ~CβCαγ对于S10而言Ⅵ。

    CαCβCγδ~CαCγCβδ对于S1而言Ⅶ。

    CαCβγ~CNCαNβγ对于S12与S13而言相应的断定命题是:对变形Ⅴ:S10。

    CpCqrCqCpr;对变形Ⅵ:S1。

    CpCqCrsCpCrCqs;

…… 174

    261第五章 判定问题

    对变形Ⅶ:S12。

    CpCqrCNCpNqr。

    S13。

    CNCpNqrCpCqr。

    用S10我们能把复杂的前件从第二个位置移到第一个位置,而用S1能从第三个位置移到第二个位置。

    应用这些变形于第三个例子的表达式CpCNqCNCqpr与CqCNCqpr我们得到:(α)CpCNqCNCqpr~CpCNCqpCNqr由Ⅵ;CpCNCqpCNqr~CNCqpCpCNqr由Ⅴ;CNCqpCpCNqr~CqpCNpCpCNqr由Ⅲ;CqpCNpCqCNqr~CNqCNpCpCNqr,CpCNpCpCNqr由Ⅳ。

    (β)CqCNCqpr~CNCqpCqr由Ⅴ;CNCqpCqr~CqpCNpCqr由Ⅲ;CqpCNpCqr~CNqCNpCqr,CpCNpCqr由Ⅳ。

    这样CCpqCqpp化归为四个初等表达式:CNqCNpCpCCNqr,CpCNpCpCNqr,CNqCNpCqr与CpCNpCqr。

    变形Ⅶ用于复杂前件出现在第四个位置或者更远的地方的所有那些情况。

    这个变形允许我们减少前件的数目;事实上,NCpNq与Kpq的意思是一样的,并且S12与S13相应地都是输入定律与输出定律的另外的形式。

    现在CNCαNβγ,像CKαβγ一样,只有一个前件,而其等值的表达式CαCβγ有两个前件。

    所以,如果一个复杂的表达式出现于第四个位置,如δ在CαCβCγCδ∈中那样,我们相继应用Ⅶ和Ⅵ能够
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