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Ａａｃ１，Ａｃ１ｃ２…，Ａｃｎ１ｃｎ，Ａｃｎｂ，C序列的第一项有ａ作为它的第一个变元。
最后一项有ｂ作为它的第二个变元。
而每一个其它项的第二个变元都与它的后承者的第一个变元相同。
很明显，从这样一个表达式的序列，重复应用Ｂａｒｂａｒａ式就得出Ａａｂ。
所以，如果有一个从ａ导至ｂ的系列，这表达式就被断定；如果没有这样的系列，我们能消去Ａａｆ型的前提（将它们的第二个变元等同于ａ）
，用这种方法这表达式被化归为从属情况（ｃ）
，而它已是被排斥的。
第六种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个特称肯定命题。
这里我们也必须区分几种从属情况。
（ａ）后件是Ｉａ；这表达式是被断定的，因为它的后件是真的。
（ｂ）后件是Ｉａｂ，而出现为前件的或是Ａａｂ，或Ａｂａ，或Ｉａｂ，或Ｉｂａ；很显然，在所有这些情况，这表达式必须被断定。
以下都假定以上四者都不作为前件出现。
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６７１第五章 判定问题
（ｃ）
后件是Ｉａｂ，而没有前件是Ａｆａ型的（ｆ不同于ａ）
，或者是Ａｇｂ型的（ｇ不同于ｂ）这表达式是被排斥的。
证明：我们把所有不同于ａ，ｂ的变项都等同于ｃ；于是在Ａｃｃ或Ｉｃｃ型的真前提之外，我们只得到以下前件：
Ａａｃ，Ａｂｃ，Ｉａｃ，Ｉｂｃ。
Ａａｃ蕴涵Ｉａｃ，而Ａｂｃ蕴涵Ｉｂｃ。
所以，前提的最强的组合是Ａａｃ与Ａｂｃ。
然而，从这个组合，不会得出Ｉａｂ，因为公式
ＣＡａｃＣＡｂｃＩａｂ等值于我们的排斥公理。
（ｄ）
后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）
的表达式，而没有Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）
的表达式。
如果有Ａｂｅ或Ｉｂｅ（Ｉｅｂ）
，并且有一个从ｅ导至ａ的系列：（α）Ａｂｅ；Ａｅ１，Ａｅ１ｅ２，…，Ａｅｎａ，（β）
Ｉｂｅ；Ａｅ１，Ａｅ１ｅ２，…，Ａｅｎａ我们从（α）
得到Ａｂｅ与Ａｅａ，从而用Ｂｒａｍａｎｔｉｐ式得到Ｉａｂ，而从（β）
得到Ｉｂｅ与Ａｅａ，从而用Ｄｉｍａｒｉｓ式得到Ｉａｂ。
在两种情况中，这表达式都是被断定的。
然而，如果不满足条件（α）
和（β）
，我们能够消去Ａｆａ型的前提（用把它们的第一个变元等同于ａ的办法）
，根据从属情况（ｃ）
，这表达式必须被排斥。
（ｅ）后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）的表达式，而没有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）的表达式。
这个情况能够化归为从属情况（ｄ）
，因为ａ与ｂ就后件Ｉａｂ而言是对称的。
（ｆ）后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）
的表达式与Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）的表达式。
我们可以设想条
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３。三段论系统的初等表达式A ７７１
件（α）与（β）对于Ａｆａ是没有满足的，或者同样的条件对于Ａｇｂ也是没有满足的；否则，如我们已经知道的，这个原表达式将是被断定的。
现在，如果有Ａｃａ与一个从ｃ导至ｂ的系列：（γ）Ａｃａ；Ａｃ１Ａｃ１ｃ２，…，Ａｃｎｂ，或者Ａｄｂ与一个从ｄ导至ａ的系列：（δ）Ａｄｂ；Ａｄ１，Ａｄ１ｄ２，…，Ａｄｎａ，我们从（γ）得到Ａｃａ与Ａｃｂ，从（δ）得到Ａｄｂ与Ａｄａ。
从而在两种情况下，用Ｄａｒａｐｔｉ式都得出Ｉａｂ。
进一步说，如果有一前件Ｉｃｄ（或Ｉｄｃ）与两个系列，一为从ｃ导至ａ，另一为由ｄ导至ｂ：Ｉｃｄ；Ａｃ（∈）１，Ａｃ１ｃ２，…，ＡｃｎａＩｃｄ；Ａｄ１，Ａｄ１ｄ２，…
Ａｄｎｂ我从第一个系列得出前提Ａｃａ，从第二个系列得出前提Ａｄｂ，而这两个前提与Ｉｃｄ一起，基于复合三段论（ｐｏｌｙｓｙｌｏｇｉｓｍ）
ＣＩｃｄＣＡｃａＣＡｄｂＩａｂ得出结论Ｉａｂ。
我们这样来证明这个复合三段论：从Ｉｃｄ与Ａｃａ用Ｄｉｓａｍｉｓ式推出Ｉａｄ，然后从Ｉａｄ与Ａｄｂ用Ｄａｒｉ出式推出Ｉａｂ。
在所有这些情况下，这个原表达式都必须被断定。
然而，如果条件（γ）
，（δ）或（∈）没有一个是被满足的，我们可以消去Ａｆａ与Ａｇｂ型的表达式（用将它们的第一个变元分别地等同于ａ或ｂ的办法）
，而根据从属情况（ｃ）
，这个原表达式必须被排斥。
现在穷尽了一切可能的情况，并且证明了每一个有意义的亚里士多德三段论系统的表达式，在我们的公理和推论规则的基础上，或者是被断定的，或者是被排斥
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８７１第五章 判定问题
的。
３４。三段论系统的一个算术的解释A莱布尼兹于１６７９年发现了亚里士多德三段论系统的一个算术的解释。
从历史的以及从系统的观点来说，它应当受到我们的注意。
①它是一个同构的解释（ｉｓｏｍｒｐｈｉｃｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ）。
莱布尼兹并不知道亚里士多德三段论系统可以公理化，而且他也不知道关于排斥及其规则的任何东西。
他为了相信他的解释是不错的，他才检验了某些换位定律与某些三段论的式。
所以，他的解释满足我们的断定的公理１—４、排斥的公理P５９，以及斯卢派斯基规则等等，好像仅仅是一种巧合。
无论如何，在他的研究中他的哲学直观指导着他产生了一个如此圆满的结果，的确是一桩奇事。
莱布尼兹的算术解释是基于三段论系统的变项与自然数彼此互素的有序偶（ｏｒｄｅｒｅｄ
ｐａｉｒｓ
ｏｆ
ｎａｔｕｒａｌ
ｎｕｍｂｅｒｓ
ｐｒｉｍｅ
ｔｏ
ｅａｃｈ
ｏｔｈｅｒ）之间的相关关系（ｃｏｒｅｌａｔｉｏｎ）。
例如，对于变项ａ，对应着两个互素的数，ａ１与ａ２；对于变项ｂ，对应着两个其它的也是互素的数，ｂ与ｂ。
当且仅当ａ１可被ｂ１整除，并且ａ２可被ｂ２整除时，前提Ａａｂ才是真的。
如果这些条件之一没有满足，Ａａｂ就是假的，从而ＮＡａｂ就是真的。
当
①见Ｌ。库杜拉特：《莱布尼兹未刊行的著作和残篇》（ＯｐｕｓｃｕｌｅｓｅｔｆｒａｇCｍｅｎｔｓｉｎéｄｉｔｓｄｅＬｅｉｂｎｉｚ）
，巴黎１９０３年版，第１７页以下。
又参看杨卢卡西维茨W《论亚里士多德的三段论》（Ｏｓｙｌｏｇｉｓｔｙｃｅ
Ａｒｙｓｔｏｔｅｌｅｓａ）
，《克拉科夫科学院院刊》ｘｌｉｖ，第６号（１９３９年）
，第２０页。
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３４。三段论系统的一个算术的解释A ９７１
且仅当ａ１与ｂ２之间没有公因数，并且ａ与ｂ１之间没有公因数时，前提Ｉａｂ才是真的。
如果这些条件之一没有满足，Ｉａｂ就是假的，从而ＮＩａｂ就是真的。
容易看出：我们的断定的公理１—４都是被确证的。
公理１，Ａａａ是被确证的，因为每一个数可由它自己整除。
公理２，Ｉａ是被确证的，因为已经假定，对应于ａ的两个数，ａ１与ａ２是互素的。
公理３，Ｂａｒｂａｒａ式ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ也是被确证的，因为可整除的关系是传递的。
公理４，Ｄａｔｉｓｔ式ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ，也是被确证的；因为如果ｂ１可被ｃ１整除，ｂ２可被ｃ２整除，ｂ１与ａ２之间没有公因数，并且ｂ２与ａ１之间没有公因数，那么，ａ１与ｃ２之间必定没有公因数，并且ａ２与ｃ１之间必定没有公因数。
因为，如果ａ１与ｃ２有一个比１大的公因子，ａ１与ｂ２也将有这个相同的公因子，因ｂ２包含ｃ２。
但这是与ａ１与ｂ２之间没有公因数的假定相违背的。
同样，我们证明ａ２与ｃ１之间必定没有公因数。
表明公理P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ必须被排斥，也是容易的。
举以下数字为例：ａ１＝１５，ｂ１＝３，ｃ１＝１２，ａ２＝１４，ｂ２＝７，ｃ２＝３５。
Ａｃｂ是真的，因为ｃ１被ｂ１整除，并且ｃ２可被ｂ２整除；Ａａｂ也是真的，因为ａ１可被ｂ１整除，并且ａ２可被ｂ２整除；但结论Ｉａｃ不是真的，因为ａ１与ｃ２不是互素的。
斯卢派斯基规则的确证较为复杂些。
我将借助实例来说明这个问题。
让我们取排斥的表达式：（P１）ＣＮＡａｂＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ与（P２）ＣＮＩｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。
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０８１第五章 判定问题
我们用斯卢派斯基规则，
PＣＮαγ，PＣＮβγ→ＣＮαＣＮβγ，从（P１）与（P２）得到第三个排斥的表达式，（P３）ＣＮＡａｂＣＮＩｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。
例如用以下一组数字，表达式（１）就被反驳了：ａ１＝４，ｂ１＝７，ｃ１＝３，ｄ１＝４，（４）ａ２＝９，ｂ２＝５，ｃ２＝８，ｄ２＝３。
能够很容易地证明：根据这个解释Ａａｂ是假的（因为４不能被７整除）
，从而ＮＡａｂ是真的；Ｉｃｄ是假的（因为ｃ２对于ｄ１不是互素的）
，所以ＮＩｃｄ是真的；Ｉｂｄ是真的（因为ｂ１与ｄ２，ｂ２与ｄ１两对数，彼此都是互素的）
；但是ＮＡａｄ是假的，因为Ａａｄ是真的（ａ１可被ｄ１整除，而且ａ２可被ｄ２整除）。
所有前件都是真的，后件是假的；所以表达式（１）被驳倒了。
相同的这样一组数并不反驳表达式（２）
，因为Ｉｂｃ是真的（由于ｂ１与ｃ２，及ｂ２与ｃ１两对数，彼此是互素的）
，从而ＮＩｂｃ是假的。
但如果一个蕴涵式的前件是假的，这个蕴涵式就是真的。
为了反驳表达式（２）
，我们必须取另外一组数：ａ（５）１＝９，ｂ１＝３，ｃ１＝８，ｄ１＝３，ａ２＝２，ｂ２＝２，ｃ２＝５，ｄ２＝２。
根据这个解释，表达式（２）的所有前件都是真的，而后件是假的；所以，这表达式就被反驳了。
但这第二组数并不反驳表达式（１）
，因为Ａａ�