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３８。基本模态逻辑A ３９１
P８。
ＮＬｐ，即：ｐ不是必然的——是被排斥的。
两个公式都可称为亚里士多德的公式，因为它们都是从亚里士多德所允许的假定中推出来的结果，这个假定就是：存在着被断定的必然命题。
因为如果Ｌａ被断定，那末，ＬＮａ也应该被断定，而从邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ，我们用代入法W和分离法得出断定的公式ＣＮＬαｐ和ＣＮＬＮαｐ。
由于ｐ是被排斥的，那末，ＮＬα和ＮＬＮα也是被排斥的，而结果，ＮＬｐ和ＮＬＮｐ，即Ｍｐ，也应该是被排斥的。
当且仅当一个系统满足公式１—８的时候，我称之为“基本的模态逻辑”
系统。
我已经表明过，基本的模态逻辑可以在古典命题演算的基础上予以公理化。
①两个模态函子Ｍ和Ｌ中，一个作为基本词项，而另一个则可由它来下定义。
取Ｍ为基本词项和公式２作为Ｌ的定义，我们就能得出基本模态逻辑的下列一组独立的公理：４。
ＣｐＭｐP５。
ＣＭｐｐP７。
Ｍｐ
９。
ＱＭｐＭＮＮｐ，这里公式９根据定义２和命题演算是与公式１演绎地等值的。
取Ｌ为基本词项和公式１作为Ｍ的定义，我们得出相应的一组公理：３。
ＣＬｐP６。
ＣｐＬｐP８。
ＮＬｐ
１０。
ＱＬｐＬＮｐ，这里公式１０根据定义１和命题演算是演绎地等值于公式２的。
推出的公式９和１０作为公理是必不可少的。
基本的模态逻辑是任何模态逻辑系统的基础，并且总必须包含在这类逻辑的任一系统之中。
公式１—８与亚里士多德
①参阅我关于模态逻辑的论文第１４—１１７页。
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４９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
的直觉相一致，并且成为我们关于必然性和可能性概念的基础。
但是它们并没有穷尽公认的全部模态定律。
例如，我们相信如果一个合取式是可能的，那末，它的每一个因子也必须是可能的，用符号表示就是：１。
ＣＭＫｐｑＭｐ和１２。
ＣＭＫｐｑＭｑ，而如果一个合取式是必然的，那末，它的每一个因子也必须是必然的，用符号表示就是：１３。
ＣＬＫｐｑＬｐ和１４。
ＣＬＫｐｑＬｑ。
这些公式的任何一个都不能从定律１—８推演出来。
基本模态逻辑是一个不完全的模态系统，因而需要补充若干新的公理。
让我们看看亚里士多德本人是怎样补充的。
３９。扩展定律A亚里士多德的最为重要，并且照我看来，最为成功的超出基本模态逻辑范围的尝试，在于他断定了某些可以称为“模态函子扩展定律”
的原则。
这些原则可以在《前分析篇》第１卷第１５章找到；它们在三个地方表述出来。
在这一章开始我们读到：“首先，我们必须说明：如果（如果α存在，则β必须存在）
，那末，（如果α是可能的，则β也必须是可能的）“。
①亚里士多德在几行之后又说（指他的三段论）
：“……如果用α标志前提，而用β标志结论，则不仅由此可以得出：如果α是必然的，则β是必然的，而且得出：如果
①《前分析篇》，ｉ。
１５，３４ａ５。
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３９。扩展定律A ５９１
α是可能的，则β是可能的。“
①
而在这一段结尾时他又重复说：“已经证明过，如果（如果α存在，则β存在）
，那末，（如果α是可能的，则β是可能的）。“
②
让我们首先从涉及三段论的第二段原文开始，来分析这些模态定律。
所有亚里士多德的三段论都是具有Ｃαβ形式的蕴涵式，这里α是两个前提的合取，而β是结论。
举Ｂａｒｂａｒａ式为例：１５。
ＣＫＡｂａＡｃｂ
Ａｃａ
α
β按照这第二段引文，我们得出两个具有蕴涵形式的模态定理，这个蕴涵式取Ｃαβ作为前件和取ＣＬαＬβ或ＣＭαＭβ作为后件，用符号表示就是：１６。
ＣαＣαβＬαＬβ和１７。
ＣαβＣＭαＭβ。
字母α和β在这里代表一个亚里士多德三段论的前提和结论。
由于最后一段引文没有涉及三段论，所以我们可以将这些定理看作一般原则的特殊情况，这个一般原则我们可以通过用命题变项去代替希腊字母得出：１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ和１９。
ＣｐｑＣＭｐＭｑ。
两个公式都可以称为广义的“扩展定律”
，第一个是关于Ｌ的，第二个是关于Ｍ的。
这“广义”一词需要作些解释。
作为Ｓｅｎｓｕ
ｓｔｒｉｃｔｏ（严格意义）的一般扩展定律，乃是
①同上，３４ａ２。
②同上，３４ａ２９。
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６９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
一个通过引入变项函子而扩充的古典命题演算的公式，它具有下述形式：２０。
ＣＱｐｑＣδｐδｑ。
简略地说，这表示：如果ｐ等值于ｑ，那末，如果δ属于ｐ，那末δ也属于ｑ，这里δ是任一具有一个命题主目的命题构成函子，例如Ｎ。
相应地，关于Ｌ和Ｍ的严格的扩展定律将具有下述形式：２１。
ＣＱｐｑＣＬｐＬｑ和２。
ＣＱｐｑＣＭｐＭｑ。
这两个公式比公式１８和１９具有更强的前件，并且依靠命题ＣＱｐｑＣｐｑ和假言三段论的原则可以容易地从公式１８和１９推演出来（从１８推出２１，从１９推出２）。
但是，也可以证明，在命题演算和基本模态逻辑的基础上，反过来，从公式２１推演出公式１８，从公式２推演出公式１９。
我在这里对Ｌ公式给以一个完整的推演：前提：２３。
ＣＱｐｑｒＣｐＣｐｑｒ２４。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ２５。
ＣｐＣｑＣｐｒＣｑＣｐｒ３。
ＣＬｐ。
推演：
２３。
ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ２１—２６＇２６。
ＣｐＣｐｑＣＬｐＬｑ
２４。
ｐＬｐ，ｑｐ，ｒＣＣｐｑＣＬｐＬｑ×Ｃ３—Ｃ２６—２７＇２７。
ＣＬｐＣｐｑＣＬｐＬｑ
２５。
ｐＬｐ，ｑＣｐｑ，ｒＬｑ×Ｃ２７—１８＇
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４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A ７９１
１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ依据前提ＣＣＱｐｑｒＣＮｑＣｐｑｒ，ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＣＮｐＣｑＣCｒｐＣｑＣｒｐ和模态断定命题ＣｐＭｐ的易位ＣＮＭ９Ｎｐ，同样可以从公式２推演出公式１９。
从上面所述，我们看到，给予了命题演算和基本模态逻辑，公式１８与严格的扩展定律２１是演绎地等值的，而公式１９与严格的扩展定律２是演绎地等值的。
因此，我们将这些公式称为“广义的扩展定律”是正确的。
自然，不管我们是通过补充ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ或者是通过补充ＣＱｐｑＣＬｐＬｑ去完成基本模态逻辑的Ｌ系统，它们在逻辑上都是毫无区别的；另外将ＣｐｑＣＭｐＭｑ或者ＣＣｐｑＣＭｐＭｑ任选其一补充到Ｍ系统中去也是同样有效的。
但是就直观上说，其区别却很大。
公式１８和１９不象公式２１和２那样明显。
如果ｐ蕴涵ｑ，但是并不与它等值，那末，如果δ属于ｐ，则也属于ｑ，这却不是永真的；例如：ＣＮｐＮｑ就不能从Ｃｐｑ推演出来。
但是，如果ｐ与ｑ等值，那末总是，如果δ属于ｐ，则δ属于ｑ，即如果ｐ真，则ｑ也真，而如果ｐ假，则ｑ也假；同样，如果ｐ是必然的，则ｑ也是必然的，而如果ｐ是可能的则ｑ也是可能的。
这看来应该是十分明显的，除非模态函项看作内涵函项，即作为函项，它的真值不单纯依赖于它的主目的真值。
但是在这种情况下，必然性和可能性应该表示什么，这对我来说至今还是个秘密。
４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A在上面的最后一段引文中，亚里士多德说他已证明了关于可能性的扩展定律。
他实际上是这样论证的：如果α是可能
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８９１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
的，而β是不可能的，那末当α出现时β却不出现，所以α可以在没有β的情况下出现，但这是与如果α存在则β也存在的前提相矛盾。
①很难将这个论证改造成一个逻辑公式，因为词项“出现”与其说具有逻辑意义，不如说更具有本体论的意义。
但是亚历山大给这个论证所作的注释却值得仔细研究。
亚里士多德将“偶然的”
定义为某种不是必然的东西，而对这种东西设想的存在也不包含任何不可能。
②亚历山大将亚里士多德关于偶然性的定义与省去了“不是必然的”一语的“可能性”
的定义等同起来。
他说：“一个作为不可能的β不能从一个作为可能的α推演出来，这一点也可以从可能性的定义加以证明，这个定义是：可能的东西是这样的，对它设想的存在不包含任何不可能。”
③这里“不可能”
和“不”
（ｎｏｔｈCｉｎｇ）两词要求慎重的解释。
我们不能将“不可能”解释为“不是可能的”
，因为这样定义就会产生循环。
我们应当或者采用“不可能”作为基本词项，或者采用“必然”作为基本词项，用“非ｐ是必然的”去定义表达式“ｐ是不可能的”。
我宁愿采取第二个方式，并且将在Ｌ基本模态逻辑的基础上来讨论这个新的定义。
“不”
一词应该用全称量词来表示，因为要不然定义就不是正确的。
因此，我们就得出等值式：
①《前分析篇》，ｉ。
１５，３４ａ８，“如果它是可能的，在它的存在成为可能的时候，就可以出现；而如果它是不可能的，在它的存在成为不可能的时候，就不会出现；而如果在同一时间α是可能的而β是不可能的，那末，α就可能在没有β的情况下出现，而如果它出现了，那末就存在着……。”
②参阅下面第１９０页。
③亚历山大，１７，１。
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４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A