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亚里士多德的三段论-第36部分

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…… 205

    38。基本模态逻辑A                                                                    391

    P8。

    NLp,即:p不是必然的——是被排斥的。

    两个公式都可称为亚里士多德的公式,因为它们都是从亚里士多德所允许的假定中推出来的结果,这个假定就是:存在着被断定的必然命题。

    因为如果La被断定,那末,LNa也应该被断定,而从邓斯司各脱原则CpCNpq,我们用代入法W和分离法得出断定的公式CNLαp和CNLNαp。

    由于p是被排斥的,那末,NLα和NLNα也是被排斥的,而结果,NLp和NLNp,即Mp,也应该是被排斥的。

    当且仅当一个系统满足公式1—8的时候,我称之为“基本的模态逻辑”

    系统。

    我已经表明过,基本的模态逻辑可以在古典命题演算的基础上予以公理化。

    ①两个模态函子M和L中,一个作为基本词项,而另一个则可由它来下定义。

    取M为基本词项和公式2作为L的定义,我们就能得出基本模态逻辑的下列一组独立的公理:4。

    CpMpP5。

    CMppP7。

    Mp

    9。

    QMpMNNp,这里公式9根据定义2和命题演算是与公式1演绎地等值的。

    取L为基本词项和公式1作为M的定义,我们得出相应的一组公理:3。

    CLpP6。

    CpLpP8。

    NLp

    10。

    QLpLNp,这里公式10根据定义1和命题演算是演绎地等值于公式2的。

    推出的公式9和10作为公理是必不可少的。

    基本的模态逻辑是任何模态逻辑系统的基础,并且总必须包含在这类逻辑的任一系统之中。

    公式1—8与亚里士多德

    ①参阅我关于模态逻辑的论文第14—117页。

…… 206

    491第六章 亚里士多德的模态命题逻辑

    的直觉相一致,并且成为我们关于必然性和可能性概念的基础。

    但是它们并没有穷尽公认的全部模态定律。

    例如,我们相信如果一个合取式是可能的,那末,它的每一个因子也必须是可能的,用符号表示就是:1。

    CMKpqMp和12。

    CMKpqMq,而如果一个合取式是必然的,那末,它的每一个因子也必须是必然的,用符号表示就是:13。

    CLKpqLp和14。

    CLKpqLq。

    这些公式的任何一个都不能从定律1—8推演出来。

    基本模态逻辑是一个不完全的模态系统,因而需要补充若干新的公理。

    让我们看看亚里士多德本人是怎样补充的。

    39。扩展定律A亚里士多德的最为重要,并且照我看来,最为成功的超出基本模态逻辑范围的尝试,在于他断定了某些可以称为“模态函子扩展定律”

    的原则。

    这些原则可以在《前分析篇》第1卷第15章找到;它们在三个地方表述出来。

    在这一章开始我们读到:“首先,我们必须说明:如果(如果α存在,则β必须存在)

    ,那末,(如果α是可能的,则β也必须是可能的)“。

    ①亚里士多德在几行之后又说(指他的三段论)

    :“……如果用α标志前提,而用β标志结论,则不仅由此可以得出:如果α是必然的,则β是必然的,而且得出:如果

    ①《前分析篇》,i。

    15,34a5。

…… 207

    39。扩展定律A                                                            591

    α是可能的,则β是可能的。“

    ①

    而在这一段结尾时他又重复说:“已经证明过,如果(如果α存在,则β存在)

    ,那末,(如果α是可能的,则β是可能的)。“

    ②

    让我们首先从涉及三段论的第二段原文开始,来分析这些模态定律。

    所有亚里士多德的三段论都是具有Cαβ形式的蕴涵式,这里α是两个前提的合取,而β是结论。

    举Barbara式为例:15。

    CKAbaAcb

    Aca

    α

    β按照这第二段引文,我们得出两个具有蕴涵形式的模态定理,这个蕴涵式取Cαβ作为前件和取CLαLβ或CMαMβ作为后件,用符号表示就是:16。

    CαCαβLαLβ和17。

    CαβCMαMβ。

    字母α和β在这里代表一个亚里士多德三段论的前提和结论。

    由于最后一段引文没有涉及三段论,所以我们可以将这些定理看作一般原则的特殊情况,这个一般原则我们可以通过用命题变项去代替希腊字母得出:18。

    CpqCLpLq和19。

    CpqCMpMq。

    两个公式都可以称为广义的“扩展定律”

    ,第一个是关于L的,第二个是关于M的。

    这“广义”一词需要作些解释。

    作为Sensu

    stricto(严格意义)的一般扩展定律,乃是

    ①同上,34a2。

    ②同上,34a29。

…… 208

    691第六章 亚里士多德的模态命题逻辑

    一个通过引入变项函子而扩充的古典命题演算的公式,它具有下述形式:20。

    CQpqCδpδq。

    简略地说,这表示:如果p等值于q,那末,如果δ属于p,那末δ也属于q,这里δ是任一具有一个命题主目的命题构成函子,例如N。

    相应地,关于L和M的严格的扩展定律将具有下述形式:21。

    CQpqCLpLq和2。

    CQpqCMpMq。

    这两个公式比公式18和19具有更强的前件,并且依靠命题CQpqCpq和假言三段论的原则可以容易地从公式18和19推演出来(从18推出21,从19推出2)。

    但是,也可以证明,在命题演算和基本模态逻辑的基础上,反过来,从公式21推演出公式18,从公式2推演出公式19。

    我在这里对L公式给以一个完整的推演:前提:23。

    CQpqrCpCpqr24。

    CpqCqrCpr25。

    CpCqCprCqCpr3。

    CLp。

    推演:

    23。

    rCLpLq×C21—26'26。

    CpCpqCLpLq

    24。

    pLp,qp,rCCpqCLpLq×C3—C26—27'27。

    CLpCpqCLpLq

    25。

    pLp,qCpq,rLq×C27—18'

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    40。亚里士多德对扩展的M-定律的证明A                                                                                 791

    18。

    CpqCLpLq依据前提CCQpqrCNqCpqr,CCpqCqrCpr,CCNpCqCCrpCqCrp和模态断定命题CpMp的易位CNM9Np,同样可以从公式2推演出公式19。

    从上面所述,我们看到,给予了命题演算和基本模态逻辑,公式18与严格的扩展定律21是演绎地等值的,而公式19与严格的扩展定律2是演绎地等值的。

    因此,我们将这些公式称为“广义的扩展定律”是正确的。

    自然,不管我们是通过补充CCpqCLpLq或者是通过补充CQpqCLpLq去完成基本模态逻辑的L系统,它们在逻辑上都是毫无区别的;另外将CpqCMpMq或者CCpqCMpMq任选其一补充到M系统中去也是同样有效的。

    但是就直观上说,其区别却很大。

    公式18和19不象公式21和2那样明显。

    如果p蕴涵q,但是并不与它等值,那末,如果δ属于p,则也属于q,这却不是永真的;例如:CNpNq就不能从Cpq推演出来。

    但是,如果p与q等值,那末总是,如果δ属于p,则δ属于q,即如果p真,则q也真,而如果p假,则q也假;同样,如果p是必然的,则q也是必然的,而如果p是可能的则q也是可能的。

    这看来应该是十分明显的,除非模态函项看作内涵函项,即作为函项,它的真值不单纯依赖于它的主目的真值。

    但是在这种情况下,必然性和可能性应该表示什么,这对我来说至今还是个秘密。

    40。亚里士多德对扩展的M-定律的证明A在上面的最后一段引文中,亚里士多德说他已证明了关于可能性的扩展定律。

    他实际上是这样论证的:如果α是可能

…… 210

    891第六章 亚里士多德的模态命题逻辑

    的,而β是不可能的,那末当α出现时β却不出现,所以α可以在没有β的情况下出现,但这是与如果α存在则β也存在的前提相矛盾。

    ①很难将这个论证改造成一个逻辑公式,因为词项“出现”与其说具有逻辑意义,不如说更具有本体论的意义。

    但是亚历山大给这个论证所作的注释却值得仔细研究。

    亚里士多德将“偶然的”

    定义为某种不是必然的东西,而对这种东西设想的存在也不包含任何不可能。

    ②亚历山大将亚里士多德关于偶然性的定义与省去了“不是必然的”一语的“可能性”

    的定义等同起来。

    他说:“一个作为不可能的β不能从一个作为可能的α推演出来,这一点也可以从可能性的定义加以证明,这个定义是:可能的东西是这样的,对它设想的存在不包含任何不可能。”

    ③这里“不可能”

    和“不”

    (nothCing)两词要求慎重的解释。

    我们不能将“不可能”解释为“不是可能的”

    ,因为这样定义就会产生循环。

    我们应当或者采用“不可能”作为基本词项,或者采用“必然”作为基本词项,用“非p是必然的”去定义表达式“p是不可能的”。

    我宁愿采取第二个方式,并且将在L基本模态逻辑的基础上来讨论这个新的定义。

    “不”

    一词应该用全称量词来表示,因为要不然定义就不是正确的。

    因此,我们就得出等值式:

    ①《前分析篇》,i。

    15,34a8,“如果它是可能的,在它的存在成为可能的时候,就可以出现;而如果它是不可能的,在它的存在成为不可能的时候,就不会出现;而如果在同一时间α是可能的而β是不可能的,那末,α就可能在没有β的情况下出现,而如果它出现了,那末就存在着……。”

    ②参阅下面第190页。

    ③亚历山大,17,1。

…… 211

    40。亚里士多德对扩展的M-定律的证明A                                                                    
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