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亚里士多德的三段论-第41部分

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    (c,d)=(Cac,Cbd)

    ,(2)N(a,b)=(Na,Nb)。

    然后,我们按照这些等式建立真值表M2,最后,通过简化式:(1,1)=1,(1,0)=2,(0,1)=3和(0,0)=0而将M2改变为M3。

…… 236

    422第七章 模态逻辑系统

    M3中的符号1仍旧标志真,而0仍旧标志假。

    新的符号2和3可以解释为真和假的补充记号。

    这通过将其中之一(究竟是哪一个这没有关系)等同于1,而另一个等同于0就可以看出来。

    请看M4,那里2=1,而3=0。

    M4的第二行和第一行相同,而第四行与第三行相同;同样,M4的第二栏和第一栏相同,而第四栏与第三栏相同。

    消除中间多余的各行和各栏,我们就得出M1。

    用同样的方式我们从M5得出M1,那里2=0和3=1。

    M3是一个四值的真值表。

    M3乘以M1,我们得出一个八值的真值表,继续乘以M1,就得出十六值真值表,并且一般

…… 237

    47。

    C—N—δ—p系统A                                                                             52

    地说,得出一个2n值的真值表。

    所有这些真值表对C—N—p系统来说都是足够的,并且如果我们通过导入变项函子的方式去扩充系统的话,对它继续是足够的。

    47。

    C—N—δ—p系统A我们已经遇到两个带有变项函子δ的断定命题:扩展原则CQpqCδpδq和断定命题CδpCδNpδq。

    由于后一断定命题是我们模态逻辑系统的一个公理,这就有必要对借助于δ而扩充的C—N—p系统给以充分的解释,这个扩充了的系统,我们跟随麦雷狄士称之为C—N—δ—p系统。

    这样做更有必要,是因为对带有δ的系统,甚至一些逻辑学家也几乎是完全无知的。

    将变项函子引入命题逻辑,应当归功于波兰逻辑学家列斯涅夫斯基。

    通过修改他的关于变项函子的替代规则,我就能得出简易而良好的证明①。

    首先须要解释一下这个规则。

    我用δ标志一个带有一个命题主目的变项函子,并且断定:如果p是一个有意义的表达式,那末,δp就是一个有意义的表达式。

    我们考察一下,带有一个变项函子的、最简单的、有意义的表达式,即δp的涵义是什么。

    一个变项是一个被看作关于一定值域的单个的字母,这些值可以用来替代这个字母。

    替代就意味着实际地书写它的

    ①参阅杨卢卡西维茨:《论命题主目的变项函子》(On

    Variable

    FuncW Ctors

    of

    propositional

    Arguments)

    ,载《爱尔兰皇家科学院院刊》,都柏林,1951年,54A2。

…… 238

    622第七章 模态逻辑系统

    一个值去代替这个变项,同一变项的每一次出现都用同样的值去代替。

    在C—N—p系统中,命题变项(如p或q)的值域是由这个系统中所有有意义的命题的表达式所组成的。

    除此以外,还可以导入两个常项:1和0,即一个恒真命题和一个恒假命题。

    那末,什么是函子变项δ的值域呢?

    很明显,我们可以将任何一值去代替δ,只要这个值与p一起能提供一个在我们系统中有意义的表达式。

    不仅带一个命题主目的常函子(例如N)是如此,就是与带一个主目的函子起相同作用的复合表达式也是如此(例如Cq或CNp)。

    通过替代δCq,我们从δp得出表达式Cqp,而通过'δCCNp,则得出表达式CCNp。

    但是,这种替代显然不能'包括所有可能的情况。

    我们不能用这个方法从δp得出Cpq或CpCNpq,因为没有任何一种对δ的替代能将p从它最后的位置上移开。

    但是毫无疑问,最后所说的两个表达式正如Cqp或CCNpp一样,也是对δp的替代,因为δp,正如我所知道的那样,是代表所有包含p的(包括p和δp本身)有意义的表达式。

    我可以用下述方法来克服这个困难,我首先用例子来说明这个方法。

    为了从δp通过对δ的替代而得出Cpq,我写作δC‘q,我通过消除δ并用δ的主目、即用p去填充由省略'符号所划出的空栏来实现这种替代。

    用同样的方法我从δp通过替代δC‘CN’q得出表达式CpCNpq。

    如果在表达式中出'现不止一个δ,如在CδpCδNpδq中所出现的那样,而我想对这个表达式作出替代δC‘r,那末,我就必须在每一次都消'除δ并在消除的地方写上C’r,以δ的相应的主目去填充空

…… 239

    47。

    C—N—δ—p系统A                                                                                           72

    栏。

    这样,我就从δp得出Cpr,从δNp得出CNpr,从δq得出Cqr,而从整个表达式得出CCprCNprCqr。

    从同一表达式CδpCδNpδq通过替代δC‘“推出公式CCpCNpNpCq。

    替'代δ‘表示δ应当省略;通过这样的替代,我们就可以例如'从CδpCδNpδq得出邓斯司各脱原则CpCNpq。

    替代δδ‘是W '“同一的”替代,它不引起任何变化,一般地说,我们通过对δ的替代而从一个包含δ的命题得出一个新的表达式,这种替代是对δ写上一个带有至少一个空白处的有意义的表达式,并且以δ的各个主目去填充这些空白处。

    这不是一个新的替代规则,而只是对一个变项函子的替代应当如何实行的一个描述。

    C—N—δ—p系统可以建立在被断定的单个公理之上,这个单个公理已为我们所熟悉:51。

    CδpCδNPδq对这个系统必须加入按照公理加以排斥的表达式p以便产生所有被排斥的表达式。

    麦雷狄士在一篇未发表的论文中表明,C—N—δ—p系统的所有断定的公式都可以从公理51推出。

    ①

    ①麦雷狄士在他的论文:《论一个命题演算的扩充系统》(On

    an

    ExtendCed

    Systemof

    the

    propositional

    calculus)

    (载《爱尔兰皇家科学院院刊》,都柏林,1951年,54A3)中证明,C—O—δ—p演算,即以C和O作为基本词项和带有函子变项和命题变项的演算,可以从公理Cδoδp完全地建立起来。

    他的证明完全性能的方法可以运用于带有表达式CδCδNpδq作为公理的C—N—δ—P系统。

    在第165页注②中所提到的我那篇关于模态逻辑的论文中,我从公理51推出C—N—P系统的三个被断定的公理,即CCpqCqrCpr,CNp,CpCNpq,以及某些出现δ的重要断定命题,其中包括扩展原则。

…… 240

    822第七章 模态逻辑系统

    推论规则就是通常的分离规则和对命题变项和函子变项的替代规则。

    为了以例子说明这些规则如何发生作用,我将从公理51推出同一律Cp。

    可将这个推论与C—N—p系统中对Cp证明加以比较。

    ①

    51。

    δ‘,qp×53'53。

    CpCNp

    51。

    δCpCNp‘,qNp×C53—54'                          '54。

    CpCNpNpNpCNpNp

    51。

    δ‘,qNp×5'            '5。

    CpCNpNp

    5。

    pCpCNpNp×C5—56'56。

    CNCpCNpNpNCpCNpNp

    51。

    δC“

    ,pCpCNpNp,qp×C54—C56—57'57。

    Cp我想强调指出,在公理51之上建立的系统比C—N—p系统要丰富得多。

    在包含δ的断定的结论中有这样的逻辑定律,像CCpqCqpCδpδqCδCpqCδpδqCδCpqCpδq——所有这些都是非常重要的定律,但是几乎所有的逻辑学家对它们都毫无所知。

    例如,第一个定律是与CQpqCδpδq等值的扩展原则,第二个定律可以采用为称作“蕴涵”系统的唯一的公理;第三个定律可以采用为称作“实证”

    逻辑的一个公理。

    所有这些定律都可以用真值表方法按照下面给予的规则加以验证。

    在二值逻辑中存在四个并且也只有四个带有一个主目的

    ①参阅第102页。

…… 241

    48。

    δ-定义A                                                        92

    不同函子,这里用V,S,N和F来标志(参阅真值表M6)

    对验证δ-表达式,用下述实用规则是足够的,这个规则实际上应当归功于列斯涅夫斯基。

    这个规则是:相继地写下函子V,S,N和F以代替δ,然后消除S,将Va变成Cp,而将Fa变成NCp。

    如果你们在所有的情况下都得出一个真的C—N—公式,那末,这个表达式就被断定,否则,就应当被排斥。

    例如,CδCpqCδpδq应当被断定,因为我们有CSCpqCSpSq=CCpqCpq,CNCpqCNpNq,CVCpqCVpVq=CCpCpCp,CFCpqCFpFq=CNCpCNCpNCp。

    表达式CCpqCδpδq应当被排斥,因为CCpqCNpNq不是一个真的C—N—公式。

    由此,我们看到,C—N—δ—P系统的所有表达式用真值表的方法都是容易加以证明或否证的。

    48。

    δ-定义A函子δ可以成功地运用于表达定义。

    《数学原理》的作者们用一个特殊的符号表达定义,这特殊的符号由将定义项和被定义项联结起来的等号“=”

    ,以及放在定义之后的字母

…… 242

    032第七章 模态逻辑系统

    “DF”所组成。

    按照这个方法,析取式的定义就可以这样来表示:CNpq。

    =。

    Hpq

    Df,这里CNpq(“如果非p,那末q”)是定义项,而Hpq,(“或者p,或者q”)是被定义项。

    ①符号“。

    =。

    Df“是与一个特殊的推论规则联结在一起的,这个推论规则允许用被定义项代替定义项,以及反转过来。

    这种定义的优点在于结果是直接给予的。

    但是它却
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