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远大部分是归纳性的，也就是说，许多几乎无可怀疑的命题可以从这个公理推演出来，没有同样讲得通的办法使这些命题可以为真，如果这个公理为伪，而且无任何可能是伪的东西能从它推演出来。如果这个公理表面看来是自明的，实际上那就是说，它几乎是无可怀疑的；因为有些东西原被认为是自明的，可是后来知道是伪的。如果这个公理本身几乎是无可怀疑的，那只增加了归纳证据，这种证据是从其结果几乎是无可怀疑这个事实来的，它并不能提供迥然不同的新证据。绝对正确是永远达不到的，所以每个公理和其所有结果总要有若干可疑成分。在形式逻辑里比多数科学里可疑成分为少，但是并不是没有。这从这件事就可以看出来：悖论是来自一些原来不知道需要加以限定的前提。
就可化归性公理来说，对它有利的归纳证据是很强的，因为它所容许的推理和从它引出来的结果都显然是有效的。但是，虽然这个公理竟然为伪象是很不可能，但是绝不是不可能居然发现它是从另外某一个更基本、更明显的公理推演出来的。很可能，使用循环论法原理（这种原理体现在前面讲过的层型中）是使用得过猛了，若是使用得不那么猛，这个公理的必要性也许就可以避免了。可是，这类变动并不使根据前面说明过的原理所断定的任何东西为伪，这类变动只不过为这些同一定理提供更容易得到的证据。因此，好象没有什么根据害怕使用可化归性公理会使我们有错误“
（《导言》，
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第Ⅱ章，第Ⅶ节）。
在第二版里我们说：“显然应该改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯乎是实用的理由作为根据：它导致所想望的结果，而无其他结果。但是它不是我们能满意的那类公理。但是，关于这一个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂。崔斯泰克毅然把这个公理废除，而不采取任何代替的东西。从他的研究来看，很清楚，他的这种办法使我们不得不牺牲大量的普通数学。还有一个办法（由于哲学上的理由为维根斯坦所推荐）
，就是假定命题的函项永远是真伪函项，并且一个函项只能通过它的值出现在一个命题中。
象这种看法是有难点的，但是这些难点也许不是不能克服的。
这种看法会有这样的结果，就是，函项的所有函项都是外延性的。它需要我们主张“Ａ相信ｐ”不是ｐ的一个函项。在《逻辑哲学论》里（同上所引处，及第１９至２１页）证明这如何是可能的。我们不准备断定这个学说确是正确的，但是在以下的篇幅中把它的结果弄出来，看来是值得的。看来第一卷中的一切仍然是正确的（虽然常常需要新的证明）
；归纳基数和序数的学说继续存在；但是无限戴地钦德和良序级数的学说大部分是垮台了，所以无理数和一般的实数再也不能得到适当的解决。
而且坎特的２ｎ＞ｎ这个证明也瓦解了，除非ｎ是有限的。也许还有一个什么别的不象可化归性公理那么不满人意的公理会产生这些结果，但是我们还找不出这样的一个公理来（《导言》，第ＸＩＶ页）。
《数学原理》第二版出版不久之后，Ｆ。
Ｐ。
莱穆塞在两篇很重要的文章里捡起化归性公理这个问题来，一是《数学的
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基础》，发表于一九二五年，还有《数理逻辑》，发表于一九二六年。不幸，莱穆塞的早亡使他的意见不能充分发展。但是他已有的成绩是很重要的，值得认真考虑。他的主要论点是，必须使数学成为纯然是外延性的，《数学原理》的麻烦是起自非法侵入了内包的观点。怀特海和我主张，一个类只能用一个命题函项来规定，这甚至可以用于好象为枚举所规定的那些类。举例来说，由ａ、ｂ和ｃ三个个体而成的这个类是被“ｘ＝ａ或ｘ＝ｂ或ｘ＝ｃ”这个命题函项所规定。维根斯坦拒绝等同（莱穆塞对此加以承认）
使这个方法成为不可能，但是，从另一方面来说，莱穆塞认为，对于用枚举来给一个无限的类下定义，并没有逻辑上的异议。我们不能这样来给一。。。。
个无限的类下定义，因为我们总是要死的，但是我们不免于死是一件经验上的事，这件经验上的事逻辑学家们是应该置之不顾的。
他认为，根据这一点，乘法公理是一个重言式。
例如，再回头讲那个有无限双袜子的百万富翁。
莱穆塞主张，没有必要定一个规则从每双袜子里挑一只。他认为，就逻辑来。。
说，一个无限数目的任意选择是和一个有限数目的选择一样可以容许的。
他把一个类似的观点应用于改变命题函项这个概念。怀特海和我认为一个命题函项是含有一个未定变项的一个表达法，一旦给这个变项指定一个值，就变成一个普通的句子。
例如“ｘ是有人性的”
，一旦我们用一个专名来代替“ｘ”
，就变成一个普通的句子。这样来看命题函项们，它们是由内包而成（关于变项或变项们除外）。
“是有人性的”这些字形成许多普通句子的一部分，命题函项是造若干这类句子的一个方
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法。函项的值因变项的不同的值而确定，变项由于语句内在的特性而有不同的值，莱穆塞关于命题函项的想法颇为不同。
他把命题函项只看做是使命题和变项的值有相互关系的一种方法。除了以前下过定义的那个断言函项的概念（为了某些目的，我们仍将需要这种断言函项）
，我们用外延来给命题函项的新概念下定义（倒不如说是说明，因为在我们的系统中，必须认为它是不能下定义的）。
一个个体的这样一个函项是由命题和个体之间外延上任何一——多关系引起的；也可以说是一种相互关系（不管能实用不能实用）
，这种相互关系把一个独特的命题联合到每一个个体上，个体是函项的主目，命题是它的值。
如，（苏格拉底）或许安女王已经死了，A（柏拉图）或许爱因斯坦是一个伟人；AｘE只是ｘ命题们和ｘ个体们的一个任意的联合（《数A F学的基础》，第５２页）。
把这个新解释用于“命题函项”这个概念，他就能废除了可化归性公理，也能用在符号上同《数学原理》里的定义没有区别的东西来为“ｘ＝ｙ”下定义，虽然那个定义现在有了一个新解释。这样他就成功地保留了《数学原理》的符号部分，几乎没有变动。关于这个符号部分，他说，“形式上，它几乎没有变更；但是它的意义已经大大改变了。这样保留形式，而改变解释，我是追随那一大派数理逻辑学家的，他们借着一系列惊人的定义，从怀疑论者的手中拯救了数学，并且为命题提供了一个严格的论证。只有这样我们才能使数学免遭柏劳尔和魏勒的布尔什维克式的威胁”
《数学基础》，第
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５６页）。
关于莱穆塞对“命题函项”
这个概念的新解释的有效性，我是很不容易拿定主意的。我觉得，实体对命题的一个完全任意的相关是不能让人满意的。
请以自“对ｘ所有的值来说，ｆｘ为真”到“ｆａ”这个推理为例。按莱穆塞对“ｆｘ”这个概念的解释，我们不知道“ｆａ”可以是什么。相反，在我们能够知道“ｆｘ”的意思是什么之前，我们必须知道“ｆａ”和“ｆｂ”和“ｆｃ”
等等，贯穿全宇宙。
一般命题就失掉了它们存在的理由，因为它们之所断定只能借枚举所有单独的实例来说明。不管你对于这个非难的意见如何，莱穆塞的建议的确是很巧的，而且，即使不能完全解决所有的难点，很可能路子是对的。莱穆塞自己是有怀疑的。
他说，“虽然我对于怀特海和罗素的主张试加改造我认为克服了很多难点，却不能认为这种改造是完全满意的”
（《数理逻辑》，第８１页）。
在另一件事上，我认为莱穆塞的研究大家必须承认确是对的。
我已经列举了各种矛盾，其中一类的例子就是那个人，他说“我说谎呢”
，而另一类的例子是，是否有一个最大基数的问题。莱穆塞证明，前一类是和一个字或语句之于其意义的关系有关，是把二者弄混的结果。
如果避免了这种混乱，这类的矛盾就没有了。莱穆塞主张，另一类矛盾只能用类型学说来解决。在《数学原理》里，有两种不同的层型。有外延阶层：个体，个体的类，个体的类的类，等等。莱穆塞保留这个阶层。但是还有另外一个阶层，正是这另外的那个阶层使可化归性公理成为必需的。这就是某一对象的某一主目或性质的函项阶层。先是断言阶层，这个阶层不指任何函项总
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体；其次是指断言函项总体的函项，如，“拿破仑具有大将的一切特长”。我们可以称这些为“第一级函项”。然后是指第一级函项总体的函项，这样下去，以至于无穷。莱穆塞用他对于“命题函项”这个概念的新解释，取消了这个阶层，这样就只留有外包阶层。我希望他的学说是有效的。
虽然他是以维根斯坦的一个门人来写书，并且除了维根斯坦的神秘主义之外，一切都跟着他走，他探索这个问题的途径却是非常不同的。维根斯坦发表一些格言，让读者测量其高深。他的一些格言从字面上看是和符号逻辑的存在很难相合的。正相反，即使莱穆塞追随维根斯坦追随得很紧，他却极其小心地说明，（不管所讲的是什么学说，）如何能把这个学说配合到数理逻辑的主体里去。
有大量的、深奥的文献论述数理逻辑的基础。除了在《对意义与真理的探讨》中讨论外延性和原子性原理和排中律以外，自一九二五年出版第二版《数学原理》以后，我没有做纯是逻辑的研究。所以，后来关于这个科目的研究没有影响我在哲学上的发展，因而也就不属于本书的范围。
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第十一章 认识论
自一九一四年的八月到一九一七年之末，我是全神忙于反对战争的事。但是到了一九一八年之初，我就已经相信我无法进一步做出对于和平有益处的事。我尽快写了一本原先约过的书，名《到自由之路》。可是这本书一写完，我就又开始研究哲学问题了。我在前章中已经讲到讨论逻辑原子主义的那些讲演了。这些讲演正是我进监狱以前讲完的。在监狱里，我先是写了一篇论辩性的批评杜威的文章，然后写了《数理哲学入门》。
在此之后，我发现我的思想转向了认识论，转向了心理学和语言学的似与认识论有关的那些部分。这在我的哲学兴趣中多少是一个永久性的转变。就我自己的思想来说，兴趣转变的结果具体表现在三本书里：《心的分析》（１９２１）
；《对意义与真理的探讨》（１９４０）
；《人类的知识：其